Obliczenia sił normalnych w kratownicach – metoda równoważenia węzłów (3)

Krótko o metodzie równoważenia węzłów:

• Metoda równoważenia węzłów polega na wycinaniu poszczególnych węzłów kratownicy i analizowaniu ich jako punktów materialnych w stanie równowagi.
• Analizę należy rozpocząć od węzła, w którym zbiegają się maksymalnie dwa pręty o nieznanych siłach osiowych.
• Dla każdego węzła układa się dwa równania równowagi: sumę rzutów sił na oś X oraz sumę rzutów sił na oś Y.
• Wszystkie nieznane siły w prętach przyjmuje się jako rozciągające (zwrot od węzła), co ujednolica interpretację wyników.
• Wynik dodatni (+) przy obliczonej sile oznacza, że pręt jest rozciągany, natomiast wynik ujemny (-) wskazuje na ściskanie pręta.
• Proces obliczeniowy kontynuuje się przechodząc do kolejnych węzłów, wykorzystując wyznaczone wcześniej wartości sił w prętach łączących.

Najczęściej chcecie wiedzieć…

Siły normalne – skoro normalne, to chyba w są w porządku 😀

Z artykułu o podstawach statyki kratownic dowiedzieliście się czym są kratownice i że składają się one z prętów przegubowych. Jak już wiecie, pręty te mają zdolność do przenoszenia jedynie tych obciążeń, które są zgodne z osią takiego pręta – siły te nazywamy siłami normalnymi. Nazwa ta bierze się z tego, że siły osiowe są prostopadłe (w fizyce jak coś jest prostopadłe to jest do czegoś „normalne”) do przekroju poprzecznego pręta.

Myślę, że wstępnie można postawić tezę, że obliczenia sił normalnych w prętach kratownic są bardzo proste w porównaniu do określania całego zestawu sił wewnętrznych w belkach czy ramach. W przypadkach kiedy kratownice nie są obciążone masą (traktowaną jako obciążenie rozłożone) to siły w prętach kratownicy posiadają stałe wartości na całej długości pręta. Eliminuje to konieczność zapisywania równań sił normalnych w formie funkcji lub wyznaczania wartości na początku i końcu pręta. Dzięki temu obliczenia sił wewnętrznych w kratownicy można sprowadzić tylko do badania oddziaływania prętów w miejscach ich połączeń – w węzłach kratownicy. Na tym polega właśnie metoda równoważenia węzłów.

Ogólnie najczęściej spotykanymi metodami analitycznymi wyznaczania sił w prętach kratownicy są:

• Metoda równoważenia węzłów – która zostanie omówiona w tym artykule,
• Metoda Ritter’a – o której powstanie osobny artykuł.

Poza przedstawionymi wyżej istnieją również inne metody np. graficzne jak metoda planów Cremony. Może kiedyś też o niej napiszę coś więcej, jednak teraz przejdźmy do metody równoważenia węzłów.

Płaski zbieżny układ sił – wszystko w jednym miejscu

Tak, jak napisałem powyżej – w metodzie równoważenia węzłów będziemy badać w jaki sposób siły w prętach kratownicy oddziałują na węzły kratownicy. To na co powinniśmy wstępnie zwrócić uwagę, to to że przecież wszystkie pręty kratownicy (z założenia) spotykają się „idealnie” w węzłach. Oznacza to, że analizując dany węzeł kratownicy, wszystkie siły osiowe prętów (które się w tym węźle spotykają) przecinają się dokładnie w punkcie węzła kratownicy.

Układ sił skupionych, które przecinają się w jednym punkcie nazywamy

płaskim zbieżnym układem sił!

Taki układ ma jedną podstawową cechę – moment generowany przez siły skupione jest równy 0. Najłatwiej to wytłumaczyć, jeśli za bazę obliczeń momentu wypadkowego obralibyśmy punkt analizowanego węzła.

Jeżeli kierunek działającej siły skupionej przecina dany punkt to siła nie generuje momentu względem tego punktu. Taki warunek jest spełniony przez wszystkie siły płaskiego zbieżnego układu sił. W efekcie zapisując sumę momentów względem węzła, jak również względem dowolnego innego punktu układu, moment sił zawsze automatycznie się zrównoważy (wyzeruje).

Co więcej, aby taki węzeł był statyczny (nieruchomy) to muszą być spełnione pozostałe warunki równowagi:

∑F_{ix} =0,

∑F_{iy} =0 \to ∑\overrightarrow{F_i} =\overrightarrow0

Czyli sumy sił na danych kierunkach przyjętego układu współrzędnych muszą być równe 0. Można to również wyrazić w formie wektorowej – z czego korzysta się właśnie w metodach graficznych. Wypada więc powiedzieć, że aby cała kratownica była nieruchoma, to w każdym jej węźle należy określić czy spełnione są powyższe dwa równania równowagi. Zestaw takich równań daje nam układ, który pozwala określić wartości niewiadomych reakcji podporowych jak również sił w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej.

Podsumowując – dzięki temu, że w każdym węźle kratownicy możemy analizować płaski zbieżny układ sił, dla każdego węzła otrzymujemy 2 warunki (równania) równowagi, tworzące układ równań, pozwalający na określenie wszystkich niewiadomych w układzie. Jak łatwo zauważyć skoro do dyspozycji mamy liczbę równań związaną z dwukrotnością liczby węzłów to tylko taką liczbę niewiadomych możemy rozwiązać domyślnie rozwiązać. Na tej podstawie otrzymujemy warunek statycznej wyznaczalności kratownicy, który można wyrazić również matematycznie:

2w-k-r=0

gdzie: w – liczba węzłów kratownicy, k – liczba prętów kratownicy, r – liczba reakcji podporowych.

Dodatkowo przypominam, że w układach jednotarczowych (układ prętów zachowuje się jak sztywna tarcza) maksymalna liczba reakcji, które możemy obliczyć jest równa 3.

Przejdźmy do ostatniej części artykułu związanej z zapisem równań równowagi dla węzła kratownicy.

Równania równowagi węzłów – najważniejszy jest balans

Teraz skoro wiemy, że jedyne co musimy zrobić z naszą kratownicą aby określić siły normalne w prętach to zapisać dwa równania dla każdego węzła (a potem je matematycznie przekształcić), to zostaje nam zastanowić się jak dobrze te równania zapisać. W praktyce aby poprawnie zapisać równania równowagi sił wystarczy podstawowa znajomość trygonometrii oraz dobrze przyjęty układ współrzędnych.

W kwestii układu współrzędnych: najczęściej jest tak, że nawet tym się nie przejmujemy – dobieramy klasyczny układ z poziomą osią x, skierowaną w prawo, a pionową y skierowaną do góry – najczęściej wynika to z naszych przyzwyczajeń związanymi z tym jak były przedstawiane w szkole relacje trygonometryczne. Czasem jednak warto nieco obrócić układ współrzędnych, aby uprościć zapisywane równania równowagi. Przykład znajduje się na rysunku poniżej.

Pamiętajmy, że w zapisie równań równowagi znak dodatni sił występuje kiedy zwrot siły (lub jej rzutu na oś) jest zgodny ze zwrotem danej osi układu współrzędnych!

W kwestii trygonometrii… no cóż… potrzebne są podstawy, czyli umiejętność rozkładu wektora na składowe zgodne z osiami układu współrzędnych. Tutaj jedynie mogę napisać, że będziemy korzystać z funkcji sinus i cosinus oraz że sinus jest związany z przyprostokątną leżącą naprzeciw analizowanego kąta, a cosinus jest związany z przyprostokątną leżącą przy analizowanym kącie.

Na koniec artykułu jeszcze drobna wskazówka dla młodych adeptów sztuki mechanicznej.

Zawsze starajmy się tak dobierać kolejność analizowanych węzłów tak aby w równaniach pojawiały się maksymalnie 2 niewiadome. Dzięki temu unikniemy rozwiązywania sprzężonych układów równań, a z każdego węzła otrzymamy od razu odpowiednie rozwiązania 😊. Niestety nie zawsze tak się da… dla niektórych kratownic, szczególnie jeśli nie obliczymy wstępnie reakcji podporowych, konieczne będzie zbudowanie większych układów równań.

Podsumowując – metoda równoważenia węzłów jest bardzo prostą metodą wyznaczania sił normalnych w prętach kratownicy. Jest szczególnie pomocna, jeśli naszym zadaniem jest określenie wszystkich sił w kratownicy!

W ramach ćwiczeń zachęcam do skorzystania z modułu EquiTruss, za pomocą którego obliczycie siły w prętach dowolnej kratownicy za pomocą metody równoważenia węzłów!

. Zapraszam również do zapoznania się z artykułem dotyczącym obliczeń sił normalnych za pomocą metody Rittera!