Krótko o metodzie Rittera:
- Metoda Rittera, zwana metodą przecięć, służy do wyznaczania sił normalnych w wybranych prętach kratownicy bez konieczności obliczania całej konstrukcji.
- Przekrój przez kratownicę musi dzielić ją na dwie niezależne części i może przecinać maksymalnie trzy pręty o nieznanych siłach.
- Warunkiem stosowalności metody jest, aby przecinane pręty nie zbiegały się w jednym punkcie, ani nie były do siebie równoległe.
- Dla każdej odciętej części kratownicy można zbudować trzy równania równowagi statycznej: np. sumę rzutów sił na osie X i Y oraz sumę momentów względem wybranego punktu Rittera.
- Punkt Rittera to miejsce przecięcia się dwóch prętów, co pozwala wyeliminować je z równania momentów i bezpośrednio obliczyć siłę w trzecim pręcie.
- Przyjęcie zwrotów sił „od węzła” (zakładanie rozciągania) ułatwia interpretację wyników: wynik dodatni oznacza rozciąganie, a ujemny ściskanie pręta.
Najczęściej chcecie wiedzieć…
Na czym polega metoda Rittera w obliczeniach kratownic?
Metoda Rittera polega na wirtualnym przecięciu kratownicy na dwie części przez maksymalnie trzy pręty i analizie równowagi statycznej jednej z tych części. Pozwala to na bezpośrednie wyznaczenie sił w konkretnych prętach np. przy użyciu równań momentów względem tzw. punktów Rittera.
Jak wybrać punkt Rittera do równania momentów?
Punkt Rittera wybiera się w miejscu, w którym przecinają się linie działania dwóch z trzech przeciętych prętów. Dzięki temu momenty od tych dwóch sił wynoszą zero, co pozwala na ułożenie równania z tylko jedną niewiadomą siłą w trzecim pręcie.
Ile prętów można przeciąć metodą Rittera?
Standardowo przekrój Rittera może przechodzić przez maksymalnie trzy pręty, w których siły są nieznane. Jest to podyktowane liczbą dostępnych równań równowagi statycznej (dwa równania rzutów sił i jedno równanie momentów) dla układu płaskiego.
Czy wynik ujemny w metodzie Rittera oznacza błąd?
Nie, wynik ujemny oznacza, że rzeczywisty zwrot siły w pręcie jest przeciwny do założonego. Jeśli założono, że siła działa od węzła (rozciąganie), wynik ujemny informuje, że pręt jest w rzeczywistości ściskany.
Co znajdziesz w artykule:
Siły wewnętrzne w płaskich tarczach
Po zapoznaniu się z artykułem o metodzie równoważenia węzłów, wiecie już, że siły normalne w prętach kratownicy są stałe (niezależne od lokalizacji na danym pręcie). Wiecie już też, że najbardziej trywialną metodą analizy tych sił jest rozważanie równowagi sił w każdym pręcie kratownicy. Jest to dość prosta, ale niestety czasochłonna procedura więc stosujemy ją głównie wtedy, kiedy zależy nam na określeniu sił we wszystkich prętach kratownicy. Prawda z resztą też jest taka, że konstruując rzeczywistą kratownicę i tak musimy obliczyć siły we wszystkich prętach – przecież każdy pręt musi mieć zaprojektowany przekrój poprzeczny…
Czasami jednak (głównie ze względu na wolę prowadzących egzamin 😊) należy obliczyć w zadaniu siły wewnętrzne tylko w konkretnej grupie prętów. Najczęściej te pręty znajdują się w samym środku kratownicy, więc metodą równoważenia węzłów „dotarcie” do nich zajęłoby zdecydowanie zbyt dużo czasu. I tutaj przychodzi nam z pomocą metoda Rittera!
W metodzie Rittera wykonujemy nacięcie kratownicy poprzez zestaw prętów kratownicy, co pozwala nam analizować jej lokalną równowagę – prawie tak samo, jak w przypadku analizy sił wewnętrznych w belkach czy ramach. Podstawową różnicą jest to, że w miejscu przecięcia nie uzyskujemy pojedynczego zestawu sił normalnych, tnących i momentów zginających, ale w miejscach przeciętych prętów pojawiają się ich siły normalne. Taki układ lokalny – podobnie jak w przypadku ram czy belek – musi spełniać równania równowagi aby pozostawał w spoczynku. Innymi słowy – możemy posłużyć się dobrze nam znanym równaniom równowagi statycznej do określenia sił w prętach kratownicy.
Metoda Rittera umożliwia obliczenie sił w prętach kratownicy bazując na równowadze lokalnej odciętej części kratownicy.
Metoda Rittera – zastosowanie
Zastanówmy się teraz chwilę nad kwestią samego zastosowania metody Rittera. W ogólnym przypadku sprawa jest bardzo prosta – bierzemy kratownicę, tniemy ją przez pręty, zastępujemy je siłami normalnymi, zapisujemy równania równowagi dla jednej z odciętych części kratownicy (uwzględniając oczywiście tylko te obciążenia i reakcje, które są związane z analizowaną częścią kratownicy), obliczamy wartości sił w prętach – voilà. Bardziej skomplikowanie robi się natomiast wtedy, gdy chcemy tą metodę zastosować – raz – poprawnie, dwa – efektywnie 😉.
W kwestii słowa „poprawnie” – jest główna zasada, które ogranicza możliwość zastosowania metody Rittera, w kontekście analizy sił w prętach kratownicy. Jest też kilka mitów z tym związanych (nie mówiąc półprawd czy kłamstw…), które regularnie powielane są przez prowadzących i słyszę je od studentów 😉. Wszystkie je teraz opiszę:
Mit 1. Przecięcie Rittera musi być wykonane linią prostą.
Nie jest to prawdą – przecinać możemy kolejne pręty przechodząc pomiędzy sąsiadującymi komórkami elementarnymi. O tym, czym są komórkami elementarne w kratownicach rozpisałem się w pierwszym artykule dotyczącym obliczeń reakcji – serdecznie polecam 😊.
Mit 2. Przecięcie Rittera MUSI przechodzić przez 3 pręty…
Nie musi… Co nie znaczy, że zawsze przecięcie przez większą liczbę prętów da nam coś w kontekście obliczeń.
Myślę, że ten mit wymaga szerszego komentarza. Sprawa jednak nie jest związana z mechaniką, a matematyką!
Jeżeli przecinamy trzy pręty kratownicy to (przy założeniu, że wcześniej obliczyliśmy reakcje podporowe) mamy do czynienia z trzema niewiadomymi w układzie równań. Do dyspozycji mamy również trzy równania równowagi statycznej (sumy sił po x i y oraz sumę momentów). Taki układ (jeśli jest spełniona Zasada 1) pozwala nam bezpośrednio obliczyć wartości w trzech przeciętych prętach. Jeżeli przetniemy więcej prętów to taki układ nie będzie możliwy do pełnego rozwiązania – może z równań równowagi uda nam się określić jedną lub dwie siły, ale na pewno nie uda nam się rozwiązać wszystkich… chyba że… znamy wartości sił w części z przeciętych prętów!!! I w tym miejscu jest główny problem tego mitu – wystarczy, że ze wcześniejszych obliczeń znamy wartości w danych prętach, to możemy je dowolnie ciąć bez konsekwencji dla metody Rittera!
Innymi słowy – zawsze patrzymy na to pod względem matematycznym – możemy mieć max 3 niewiadome przy 3 równaniach równowagi – niezależnie ile prętów przetniemy. Jednak aby mieć pewność, że obliczymy wartości sił normalnych to należy trzymać się Zasady 1.
Zasada 1. Aby móc obliczyć wartości sił w trzech przeciętych prętach, to nie mogą się one przecinać w jednym punkcie, oraz wszystkie trzy nie mogą być względem siebie równoległe.
W opisanych sytuacjach mielibyśmy do czynienia albo ze zbieżnym układem sił (brak możliwości skorzystania z równowagi momentów), lub z układem gdzie równanie sił na kierunku prostopadłym do prętów nie posiadałoby niewiadomych. Tak czy inaczej – nie uzyskalibyśmy wartości we wszystkich prętach.
Tyle w kontekście założeń analizy metodą Rittera. Przejdźmy do stwierdzenia „efektywnie”. Tutaj garść porad dla studentów, aby rozwiązanie metodą nie wygenerowało nam więcej problemów niż potrzeba 😉.
Sugestia 1. – strona przecięcia.
To chyba najważniejsza kwestia jeśli chodzi o szybkość rozwiązania. Niezależnie od tego, którą stronę wybierzemy układ niewiadomych w postaci sił normalnych jest zawsze taki sam, tak więc konfiguracja układu równań równowagi się nie zmieni. To co się wtedy najczęściej zmienia to liczba obciążeń i reakcji, które musimy uwzględnić w równaniach równowagi. Im więcej sił występuje na danej części – tym więcej będziemy musieli zapisać elementów w równaniach równowagi. Stąd – wniosek jest prosty – najlepiej wybierać tą stronę gdzie sił dodatkowych jest jak najmniej. To zminimalizuje liczbę pomyłek w znakach, obliczeniach i końcowo poprawi szybkość otrzymania wyniku!
Sugestia 2. – zestaw równań równowagi.
Jak zapewne wiecie lub po przeczytaniu choćby kilku artykułów na BLOGu MechaDevs się dowiedzieliście, praktycznie zawsze w układach płaskich zapisujemy trzy podstawowe równania równowagi:
∑F_{ix} =0,∑F_{iy} =0,∑M_{iz} =0Pozwalają nam one na obliczenia reakcji podporowych, sił wewnętrznych itd. itd. W przypadku metody Rittera, jak już też wiecie pozwalają nam na określenie sił normlanych w prętach… niestety w większości przypadków układ tych trzech równań prowadzi do sprzężonego układu równań. Oznacza to, że w przynajmniej jednym równaniu występują dwie niewiadome, tak więc aby obliczyć wszystkie należy równania przekształcać, podstawiać itd. I teraz może Was zaskoczę! To nie jest tak, że układ da się rozwiązać tylko za pomocą tych trzech przedstawionych równań! W praktyce możemy równie dobrze zapisać 3 równania momentów – pod warunkiem, że punkty, względem których analizujemy momenty nie leżą na jednej linii 😊.
Jeśli odniesiemy to do sytuacji w metodzie Rittera i spełniona jest Zasada 1. to bardzo często (choć nie zawsze) każda para z naszych trzech prętów przecina się w innym punkcie. Oznacza to, że jeśli zapiszemy równania momentów względem tych punktów to otrzymamy trzy niezależne równania, w których będziemy mieli tylko jedną niewiadomą – zero podstawiania i dodatkowych przekształceń – wystarczy wyciągnąć niewiadomą z danego równania i koniec 😉.
Sytuacja, której powyższy opis nie dotyczy występuje wtedy, kiedy dwa z trzech prętów są równoległe. Ich wartości obliczymy właśnie z dwóch równań momentów, natomiast wartość trzeciego pręta obliczymy z sumy sił na kierunku prostopadłym do tych dwóch prętów 😉. Tak czy inaczej – mamy zestaw równań których praktycznie nie trzeba przekształcać – spójrzcie na poniższy rysunek!
Podsumowując: metoda Rittera jest ciekawą metodą wyznaczania sił normalnych w prętach kratownicy, a korzystając z pewnych sztuczek pozwala na bardzo szybkie określenie siły w konkretnym pręcie. Z tego powodu najczęściej jest stosowana właśnie przy określaniu sił w wyznaczonych grupach prętów!
Przeczytaliście artykuł, więc pora na praktykę – przećwiczcie metodę Rittera w aplikacji EquiTruss! 😊.
Zachęcam również do zapoznania się z artykułem dotyczącym analizy prętów zerowych!
