Siły wewnętrzne w belce – przykłady obliczeń

Wracamy do tematu „Siły wewnętrzne w belce”. Znajomość rozkładu sił wewnętrznych w belce jest niezbędna do oceny jej wytrzymałości. Zaprezentuję Wam przykład obliczeń sił wewnętrznych, takich jak siły normalne, tnące oraz momenty gnące. Skupimy się na efektach od różnych typów obciążeń, abyście mogli zrozumieć, jak w praktyce wygląda rysowanie wykresów sił wewnętrznych. Przeanalizujemy obciążenia siłami i momentami skupionymi oraz obciążeniem rozłożonym (ciągłym).

Nasze zagadnienia na dziś:

• Analiza sił wewnętrznych – belka dwupodporowa
• Obliczenia sił wewnętrznych
• Metoda równań
  • Obliczenia pierwszego przedziału
  • Obliczenia drugiego przedziału
  • Obliczenia trzeciego przedziału
  • Obliczenia dla trzeciego przedziału od prawej strony
• Wykresy sił wewnętrznych
• Metoda graficzna
• Wyznaczanie sił wewnętrznych – podsumowanie

Zapewniam, że dzięki temu przykładowi i ćwiczeniom z EquiBeam nauczysz się dobrze obliczać wartości sił wewnętrznych oraz rysować ich wykresy.

Analiza sił wewnętrznych – belka dwupodporowa

Zajmiemy się analizą sił wewnętrznych w belce o schemacie statycznym przedstawionym na rysunku:

Jeżeli czytaliście wpisy związane z przykładami obliczeń reakcji, to już zapewne widzieliście tą belkę i wiecie, jak przeprowadzić analizę statyczną i kinematyczną oraz określić wartości reakcji podporowych. A jeśli nie czytaliście, to zacznijcie od artykułu Obliczanie belek – przykład obliczeniowy. Obliczenia tego przykładu zaczniemy tam, gdzie skończyliśmy w poprzednim artykule.

Poniżej zobaczycie schemat po oderwaniu od więzów (z określonymi reakcjami podporowymi) oraz wartości obliczonych wcześniej reakcji.

H_B=-qL,\hspace{12px}V_D=2.5qL,\hspace{12px}V_B=2.5qL

Obliczenia sił wewnętrznych w belce

Jeżeli znamy już wszelkie obciążenia oraz wartości reakcji, to możemy w pełni określić wartości sił wewnętrznych oraz narysować ich wykresy.

Jest na to kilka metod:

• metoda równań – wykorzystuje znajomość schematu statycznego, aby zapisać równania opisujące zmianę sił wewnętrznych w belce
• metoda graficzna – bazuje na ogólnych „schematach” tych zmian i pozwala rysować wykresy i obliczać wartości bez tworzenia równań i podstawiania wartości
• metoda superpozycji – pozwala na szybkie rysowanie wykresów dla każdego z obciążeń z osobna, a później na łączenie otrzymanych wykresów (ale tej metody nie będę omawiał w ramach tego artykułu).

Metoda równań

W ramach tej metody należy przede wszystkim określić obszary belki, na których równania sił wewnętrznych nie będą zmieniały swojej formy. Każda taka zmiana nastąpi wskutek przyłożenia nowego obciążenia czy reakcji albo np. zakończenia obciążenia ciągłego. Obszary, gdzie równania nie zmieniają postaci będziemy nazywać przedziałami.

W przypadku naszej belki mamy 3 przedziały:

• przedział pierwszy rozpoczyna się w punkcie A i kończy wraz z przyłożeniem reakcji w punkcie B. Długość tego przedziału wynosi L,
• drugi przedział zaczyna się w punkcie B, a kończy w miejscu zakończenia obciążenia ciągłego q i przyłożenia siły P₁ w punkcie C. Długość tego przedziału wynosi 2L,
• ostatni przedział zaczyna się w punkcie C i kończy wraz z końcem belki. Długość ostatniego przedziału to L.

Jak pewnie zauważyliście, w EquiBeam podstawową jednostką do tworzenia belki są właśnie przedziały, w ramach których można wprowadzać długość i dane przekrojów i materiałów.

Obliczenia pierwszego przedziału

Punkty znajdujące się pierwszym przedziale opiszemy za pomocą zmiennej położenia x. W tym przypadku, ze względu na długość przedziału, x∈[0,L]-

Równania sił wewnętrznych zapisujemy zgodnie z zasadami opisanymi w teoretycznych artykułach o siłach wewnętrznych. Dla przedziału 1 będą one miały postać:

N_1=0,\hspace{10px}T_1 (x)=-qx,\hspace{10px} M_{g1} (x)=K_1-\frac {qx^2} 2

Siły normalne są równe 0 z oczywistego powodu: brak na początku belki jakichkolwiek sił poziomych. I tutaj od razu główna dygresja: zawsze patrzymy tylko na siły i obciążenia, które były przed lokalizacją analizowanego punktu. Siła T₁ zmienia się wraz z długością działania obciążenia ciągłego zgodnie z długością x. Moment gnący od obciążenia to iloczyn siły qx i ramienia momentu względem punku o lokalizacji x. Ramię momentu wynosi x/2, stąd postać qx²/2 .

Na podstawie powyższych równań można obliczyć wartości sił wewnętrznych podstawiając lokalizację  np. dla krańców przedziału:

N_1=0, \hspace{12px} T_1 (0)=0,   \hspace{12px}T_1 (L)=-qL,  \hspace{12px} M_{g1} (0)=2qL^2, \hspace{12px}  M_{g1} (L)=1.5qL^2

Obliczenia drugiego przedziału

Punkty znajdujące się w tym przedziale dalej opiszemy za pomocą zmiennej położenia x. Jeżeli x interpretujemy od początku belki (a są metody, gdzie robi się trochę inaczej, zwykle ze względu na wygodę obliczeń pewnych całek), to zmiana lokalizacji będzie opisana jako x∈ [L3L].

Dla drugiego przedziału równania sił wewnętrznych będą miały postać:

N_2=-H_B,\hspace{10px}T_2 (x)=-qx+V_B,\hspace{10px}M_{g2} (x)=K_1-\frac {qx^2} 2+V_B (x-L)

Siły normalne N₂ są zależne od reakcji H_B . Siła T₂ dalej zmienia się wraz z długością działania obciążenia ciągłego (bo obciążenie ciągłe się nie skończyło), ale dochodzi do tego siła skupiona V_B.

Do momentu gnącego również dochodzi reakcja V_B, ale trzeba uważać na kwestię ramienia momentu tej siły od punktu o lokalizacji x. Ramię to nie jest równe x, ponieważ punkt przyłożenia reakcji znajduje się na odległości L od początku belki – stąd ramię x.

Na podstawie powyższych równań znowu można obliczyć wartości sił wewnętrznych podstawiając lokalizację x np. dla krańców przedziału:

N_2=qL,  \hspace{10px} T_2 (L)=1.5qL,   \hspace{10px}T_2 (3L)=-0.5qL,   \hspace{10px}M_{g2} (L)=1.5qL^2,  \hspace{10px} M_{g2} (3L)=2.5qL^2  

Teraz powinniśmy zauważyć ważną rzecz: siły tnące na krańcach przedziałów mają przeciwne znaki. Oznacza to, że gdzieś siła tnąca przechodzi przez wartość 0, a to prowadzi do ekstremum momentu gnącego. Ekstremum to powinno być obliczone, bo może być ono najbardziej obciążonym punktem belki – najbardziej niebezpiecznym z wytrzymałościowego punktu widzenia.

Aby obliczyć ekstremum wystarczy znaleźć miejsce zerowe funkcji siły tnącej:

T_2 (x)=-qx+V_B=0→x_{ekstr}=\frac{V_B} q=2.5L→M_{g2} (x_{ekstr} )=2.625 qL^2

Jak widzimy, wartość ekstremum momentu gnącego faktycznie jest większa niż wartości otrzymane na krańcach przedziałów – mieliśmy nosa ????. Przechodzimy dalej.

Obliczenia dla trzeciego przedziału

W trzecim przedziale zmienna X należy do przedziału [3L, 4L]. Równania sił wewnętrznych będą miały postać:

N_3=-H_B,T_3=-q⋅3L+V_B-P_1,

M_{g3} (x)=K_1-q⋅3L⋅(x-1.5L)+V_B (x-L)-P_1 (x-3L)

Siły normalne N₁ dalej są zależne tylko od reakcji H_B , gdyż do tej pory nie pojawiła się żadna inna siłą pozioma.

Na uwagę zasługuje natomiast to, co wydarzyło się po stronie sił tnących i momentów gnących. Siła  już nie zależy od zmiennej x!. Jest to oczywiście związane z zakończeniem obciążenia ciągłego, które teraz działa jako siła skupiona (o wartości q⋅3L) w swoim środku ciężkości.

Dodatkowo, w równaniu pojawia się ujemna siła P₁. W momencie gnącym też mamy ciekawe zmiany: wraz z końcem obciążenia ciągłego, należy zmienić opis ramienia momentu.

Siła zastępcza od obciążenia ciągłego znajduje się na odległości 1.5L, tak więc ramię momentu to x- 1.5L. Na podstawie powyższych równań znowu można obliczyć wartości sił wewnętrznych podstawiając lokalizację x, np. dla krańców przedziału:

N_3=qL,   \hspace{10px}T_3=-2.5qL,  \hspace{10px} M_{g3} (3L)=2.5qL^2,  \hspace{10px} M_{g3} (4L)=0

Obliczenia dla trzeciego przedziału od prawej strony

Jak zauważyliście, wraz z kolejnymi przedziałami równania sił wewnętrznych coraz bardziej się rozszerzają, powodując konieczność wykonywania coraz większej liczby operacji matematycznych do obliczeń wartości.

Jest to oczywiście duży minus tej metody, który można wyeliminować poprzez analizę belki od drugiej strony. Należy jedynie pamiętać, że analizując układ od prawej strony zmieniają się zasady znakowania sił wewnętrznych.

Dla prawej strony równania będą miały postać:

N_3=P_2,\hspace{10px}T_3=-V_D,\hspace{10px}M_{g3} (x_p )=V_D⋅x_p

Widać na pierwszy rzut oka, że są one znacznie bardziej przyjemne i można szybciej policzyć ich wartości. Pamiętajmy jednak, że też zmienia się opis i interpretacja zmiennej położenia X_p . W tym przypadku X_p należy do przedziału [0.L] , gdzie 0 to prawy koniec belki. Wstawiając dane:

N_3=qL,\hspace{10px}T_3=-2.5qL,\hspace{10px}M_{g3} (0)=0,\hspace{10px}M_{g3} (L)=2.5 qL^2, 

Oczywiście, niezależnie od przyjętej metody wynik musi być ten sam. Jest to też ciekawa metoda sprawdzenia czy otrzymane wcześniej wartości są poprawne.

Wykres sił wewnętrznych w belce

W ten sposób otrzymaliśmy zestaw funkcji i wartości opisujących siły wewnętrzne w analizowanej belce. Na ich podstawie możemy w prosty sposób narysować wykres sił wewnętrznych w belce – mamy do tego cały komplet danych.

Wartości na brzegach przedziałów zapisujemy bezpośrednio z wcześniejszych obliczeń.

Jeżeli funkcja jest stała (jak cały wykres sił normalnych) lub zmienia się liniowo (jak prawie cały wykres sił tnących), to po prostu łączymy wartości na krańcach odcinkiem.

Jeżeli wykres jest opisany funkcją kwadratową (pierwsze 2 przedziały na wykresach momentu gnącego), to do narysowania wykresu najłatwiej skorzystać z podstawowej relacji między siłą tnącą i momentem gnącym: siła tnąca jest pochodną momentu gnącego. Tak więc, jeśli siła tnąca jest dodatnia, to moment gnący rośnie; jeśli jest ujemna – maleje. Jeżeli siła tnąca przechodzi przez 0, to mamy ekstremum momentu gnącego. Im większa jest siła tnąca, tym szybciej wykres momentu rośnie itd.

Metoda graficzna

Na koniec szybko przedstawię, jak wartości sił wewnętrznych w belce można obliczyć za pomocą metody graficznej. Jest znacznie szybsza i pozwala nawet rysować wykresy sił wewnętrznych w mniej niż minutę. Bywa to wymagane od studentów na jednych z pierwszych zajęć mechaniki… serio…

Jak poprzednio, metoda wymaga analizy zmian obciążeń na belce i znajomości zachowania się wykresów przy danych obciążeniach: wszak nie mamy równań, które pozwolą na określenie przebiegów funkcji. Wykres rysuje się wraz z każdym kolejnym etapem obliczeń. Poniżej zapiszę „analizy” zmian dla naszej belki.

Siły normalne:

• zaczynamy zawsze od wartości 0,
• w punkcie A nie ma poziomych sił skupionych, więc lecimy z 0 aż do kolejnego obciążenia poziomego,
• siła skupiona H_B wywołuje skok na wykresie o swoją wartość (uwaga na znak: siła ściska drugi przedział, więc powinien być minus – ale sama jest ujemna),
• dalej lecimy z wartością ql aż do kolejnego obciążenia P₂,
• siła skupiona wywołuje skok o swoją wartość (ściska nieistniejący 4 przedział), więc teoretycznie wracamy na 0 (choć tego już na wykresie nie ma).

Siły tnące:

• zaczynamy (zawsze) od wartości 0,
• w punkcie A nie ma pionowych sił skupionych,więc nie ma skoku, ale jest obciążenie ciągłe, które na każdą jednostkę odległości L powoduje spadek o qL; na koniec przedziału mamy więc wartość -qL,
• w punkcie B występuje siła V_B, która wywołuje skok o 2.5qL, mamy więc wartość 1.5qL,
• obciążenie ciągłe działa dalej, więc na kolejnej odległości 2L mamy spadek do – 0.5qL,
• już automatycznie wykrywamy przecięcie przez 0; jego lokalizację otrzymamy dzieląc wartość na początku przedziału (1.5qL) przez wartość obciążenia q,
• ekstremum znajduje się na odległości 1.5L od punktu B,
• w punkcie C mamy skok o wartość -2qL (siła P₁),
• obciążenie ciągłe już nie działa, więc zostajemy na wartości -2qL aż do końca belki, gdzie znowu mamy skok o 2.5qL (V_D), więc znowu teoretycznie wracamy na 0 (choć tego ponownie na wykresie nie ma).

Wykres momentu gnącego tworzymy analizując momenty skupione (skoki) oraz licząc pola pod wykresem sił tnących. Moment gnący to całka po sile tnącej, a pole pod wykresem to graficzna interpretacja całki.

• zaczynamy więc od 0 (ZAWSZE) i od razu mamy skok w punkcie A o  2qL² wywołany momentem skupionym K,
• następnie, aby przejść do punktu B, liczymy pole trójkąta (uwaga – ujemnego). Zmiana wynikająca z pola to – 0.5qL, więc trafiamy na wartość 1.5qL² . Sam kształt wykresu określamy z przebiegu siły tnącej,
• w dalszej części belki nie ma momentów skupionych: wszystko liczymy z pól pod wykresem siły tnącej
• w drugim przedziale mamy dwa trójkąty – pierwszy ma podstawę 1.5qL, drugi 0.5qL – policzyliśmy to na etapie sił tnących;
• pole pierwszego trójkąta daje nam zmianę o 1.25qL²– otrzymujemy wynik w ekstremum 2,625qL²
• drugi trójkąt daje zmianę o -0.25qL², na końcu przedziału mamy 2.5qL²
• ostatni przedział to zmiana o pole prostokąta, które równe – 2.5qL² – kończymy na wartości 0!

Jak widać, już na podstawie tego czy wykres „odpowiednio się zeruje”, można szybko sprawdzić czy został wykonany poprawnie ????.

Wyznaczanie sił wewnętrznych – podsumowanie

W artykule przeanalizowaliśmy, jak wyznaczać wartości sił wewnętrznych, takich jak siły normalne, tnące i momenty zginające, które są kluczowe dla oceny wytrzymałości belek.

Zrozumienie działania sił wewnętrznych w belce oraz poprawne tworzenie wykresów sił wewnętrznych daje pełny obraz tego, jak reaguje ona na różne rodzaje obciążeń.

Przedstawione obliczenia oraz przykłady do samodzielnego rozwiązania dostępne w aplikacji EquiBeam to narzędzia, które pozwolą Wam nauczyć się analizować rozkład sił wewnętrznych w belkach i przygotować się na bardziej złożone zagadnienia wytrzymałościowe.