Zapraszam do lektury drugiej części artykułu o siłach wewnętrznych w belkach. W ramach tej części omówię podstawowe zasady obliczeń oraz pokażę różne (ale jak podobne) podejścia do obliczeń wartości sił wewnętrznych.
W ramach tej części artykułu przedstawię tematy:
- Podstawowe zasady obliczeń sił wewnętrznych w belkach
- Zapisywanie pełnych równań sił wewnętrznych – tak to robią mechanicy…
- Rysowanie sił wewnętrznych – jak to robią budowlańcy…
Podstawowe zasady obliczeń sił wewnętrznych w belkach – skąd te znaki?
Jak już wiesz z poprzedniej części artykułu (jeśli nie czytałeś/aś – sugeruję przeczytać :D) siły wewnętrzne wynikają z równowagi sił w materiale, działających na wskutek przyłożonych obciążeń. Skoro wynikają z równowagi, zgadnij jakich równań możemy użyć do ich obliczenia…
Tak, dokładnie, będą to te same równania równowagi, które były omawiane przy temacie związanym z zasadami statyki. Jedyną różnicą będzie tutaj kwestia tego, że analizować będziemy tylko jedną stronę belki – miejsce podziału określa lokalizacja jej fikcyjnego przecięcia. Z powyższego wynikają trzy oczywiste, ale bardzo ważne wnioski:
- Siły wewnętrzne w danym punkcie belki mogą być analizowane albo od lewej albo od prawej strony fikcyjnego przecięcia.
- Przy analizie od lewej strony pamiętamy o wszystkich obciążeniach (siłach, momentach, obciążeniach ciągłych, reakcjach podporowych itp.), które znajdują się „przed” przecięciem. Przy analizie od prawej strony pamiętamy o wszystkich obciążeniach, które są „za” przecięciem.
- Siły wewnętrznie niezależnie od której strony liczone powinny w danym punkcie osiągać te same wartości.
Wnioski te dają Ci spore możliwości ułatwiania sobie życia w temacie analizy sił wewnętrznych.
Raz (i to się tyczy głównie mechaników – o czym za chwilę) zawsze możesz wybrać stronę analizy tak aby zmniejszyć ilość elementów w równaniu równowagi na kierunku danej siły wewnętrznej.
Dwa – jeżeli nie jesteś pewny/a poprawności wyniku, możesz policzyć wartości od drugiej strony i się upewnić. Jeżeli wyszły Ci dwa różne wyniki to znaczy, że… coś zepsułeś/aś – wtedy na wszelki wypadek zapraszamy do EquiBeam.
Przechodząc do tematu znaków – w zdecydowanej większości przypadków, przy analizie sił wewnętrznych w belkach trzymamy się przedstawionych na poniższym rysunku zwrotów sił wewnętrznych. Dlaczego użyłem sformułowania „w zdecydowanej większości przypadków” – bo oczywiście możemy znaleźć literaturę, w której te zwroty opisane są inaczej, a więc znajdą się prowadzący, którzy również inaczej je przedstawią. Wtedy lepiej trzymać się tego co powie prowadzący…
Z powyższego rysunku wynikają automatycznie takie przykładowe postacie równań równowagi dla lewej strony belki:
\sum_{} F_{ix}= ...+N(x)=0\sum_{} F_{iy}= ...-T(x)=0\sum_{} M_{iz}= ...+M_g(x)=0\sum_{} M_{ix}= ...+M_s(x)=0W tym momencie możemy się chwilę zatrzymać i zadać sobie pytanie czy zawsze tworząc równania sił wewnętrznych musimy zapisywać pełne równania równowagi i następnie dodatkowo je przekształcać?
Odpowiedź oczywiście brzmi NIE. Zresztą wielu studentów spotka się z tym, że w ogóle nie zapisuje się równań sił wewnętrznych, a ich wartości właściwie nie liczy się wstępnie a od razu rysuje ich wykresy. Z tego powodu często zamiast zapisywać równania korzysta się z przedstawionych poniżej zasad dotyczących tego jak dany zwrot obciążenia wpływa na znak siły wewnętrznej. Poniżej opisano zasady ustalania znaku dodatniego – jak łatwo się domyślić w innych przypadkach znak będzie ujemny.
siły normalne
jeżeli zwrot siły lub obciążenia ciągłego jest skierowany od punktu analizy do uwzględnianego po danej stronie brzegu belki (rozciąga ją) to siła normalna będzie dodatnia:
- analizując od strony lewej są to siły działające w lewo,
- analizując od prawej strony są to siły działające w prawo.
siły tnące
wartość siły tnącej będzie dodatnia jeżeli:
- analizując od strony lewej siły i obciążenia ciągłe działają w górę,
- analizując od prawej strony siły i obciążenia ciągłe działają w dół.
momenty gnące
jeżeli moment, siła lub obciążenie ciągłe działa uginając belkę w górę względem punktu analizy to wartość momentu gnącego pochodzącego od tego obciążenia będzie dodatnia:
- analizując od strony lewej są to obciążenia wywołujące moment zgodny z ruchem wskazówek zegara względem punktu analizy
- analizując od prawej strony są to obciążenia wywołujące moment przeciwny do ruchu wskazówek zegara względem punktu analizy
momenty skręcające
jeżeli zwrot momentu jest skierowany od punktu analizy do uwzględnianego po danej stronie brzegu belki to moment skręcający będzie dodatni (podobnie jak w przypadku siły normalnej – do oznaczenia zwrotu momentu skręcającego możemy skorzystać z zasady prawej ręki – tej z kciukiem J):
- analizując od strony lewej są to momenty działające w lewo,
- analizując od prawej strony są to momenty działające w prawo.
Znasz już metody określania znaku danego obciążenia przy zapisywaniu ich w równaniach sił wewnętrznych (lub przy bezpośrednim rysowaniu wykresu) Na szczęście nie jest tego dużo i po wykonaniu kilku zadań dość dobrze to wchodzi w krew.
Teraz pomówmy o dwóch najczęstszych metodach rysowania wykresów. Co ciekawe, najczęściej podział na te metody jest związany z kierunkiem studiów czy raczej typem wydziału uczelni, w którym odbywają się zajęcia z mechaniki czy wytrzymałości materiałów – stąd też nazwy następnych rozdziałów.
Jak to robią mechanicy… (a budowlańcom się nie chce…)
Przyjmijmy, że tytułowi mechanicy to przydomek roboczy, ale tak się jakoś utarło że na kierunkach czysto mechanicznych (Mechanika i Budowa Maszyn, Mechatronika itp.) aby obliczyć wartości sił wewnętrznych zapisuje się ich pełne równania.
Takie postępowanie ma sporo zalet ale również wiele wad… Pozwólcie, że kilka z nich przytoczę:
Zalety zapisywania pełnych równań sił wewnętrznych:
- opis sił wewnętrznych za pomocą równań (wynikających jak wiesz z równań równowagi) jest bliższy teorii – łatwiej wytłumaczyć skąd się biorą odpowiednie znaki (co przedstawiłem powyżej) i skąd biorą się odpowiednie zachowania wykresów sił wewnętrznych,
- równania pozwalają na obliczenie wartości w dowolnym punkcie belki w dość szybki sposób (szczególnie dla układów gdzie występują równania kwadratowe – przedstawione za pomocą parabol),
- pozwalają na szybkie przekształcenia umożliwiające obliczanie ekstremów momentów gnących,
- umożliwiają zastosowanie analitycznych metod całkowania, wykorzystywanych w obliczeniach przemieszczeń – metody analityczne są niewrażliwe na typy całkowanych wykresów i nie wymagają obliczania wartości sił wewnętrznych do całkowania.
Wady zapisywania pełnych równań sił wewnętrznych:
- główną wadą zapisu równań jest sam fakt, że trzeba je zapisać… Często zajmuje to dużo czasu (szczególnie dla dużych układów),
- dla dużych układów liczba elementów w równaniu często silnie rośnie, co powoduje, że późniejsze obliczenia wartości sił wewnętrznych wymagają dużej liczby operacji matematycznych (dlatego stosuje się obliczenia od dwóch stron).
Podsumowując: równania w temacie samych obliczeń sił wewnętrznych często dokładają nam roboty, ale łatwiej się nimi posługiwać przy obliczeniach przemieszczeń dużych układów o skomplikowanym zestawie obciążeń…
Jeżeli już zakładamy, że chcemy posługiwać się równaniami w opisie sił wewnętrznych (albo prowadzący założył to za nas) wprowadźmy kilka zasad ogólnych, które również powinny uporządkować podejście do obliczeń:
- podstawą zapisu równania jest odniesienie się do położenia analizowanego punku na belce, zapisywanego najczęściej jako zmienna
,
- równania sił wewnętrznych zapisujemy dla każdego przedziału z osobna – przedziałem jest obszar belki w którym nic się nie zmienia (nie pojawiają się nowe obciążenia, nie kończą się obciążenia ciągłe itp.). Stąd w danym przedziale zmienna
obejmuje jakiś przedział wartości,
- w równaniu uwzględniamy wszystkie obciążenia które działały na belkę przed analizowanym przedziałem i na początku analizowanego przedziału (tak, już o tym pisałem).
- Momenty skupione NIE wpływają na równania sił normalnych i tnących
- Siły i obciążenia ciągłe jak najbardziej WPŁYWAJĄ na równania momentów gnących.
Jeżeli będziesz się trzymać przedstawionych zasad na pewno nie pomylisz się w zapisie równania. Na koniec dorzucę jeszcze komentarz związany ze studencką zmorą czyli zapisem równania siły tnącej i momentu gnącego dla obciążenia ciągłego.
Analizując przedział, w którym występuje obciążenie ciągłe musimy pamiętać o jednej rzeczy. Działanie obciążenia interpretujemy tak jakby działała tylko ta jego część, która znajduje się od jego początku do punktu analizy. Tak więc wraz z ze zmianą wartości zmienia się sumaryczna siła pochodząca od obciążenia, jak również całkowity moment gnący przez nie generowany – spójrz na poniższą grafikę.
Z tego powodu, w równaniach sił wewnętrznych obciążenie ciągłe może być opisane jako:
T(x)= q\cdot (x-l),
M_g (x)=q\cdot (x-l)\cdot \dfrac {(x-l)}2 = q \dfrac {(x-l)^2}2,x∈[l,2l]
A jeśli obciążenie ciągłe zaczyna się na początku belki to równanie uprości się:
T(x)= qx,
M_g (x)=q\cdot x\cdot \dfrac x2 = q \dfrac {x^2}2,x∈[0,l]
Co więcej: gdy obciążenie ciągłe się kończy (przestaje ono generować zmienną siłę), staje się wtedy siłą skupioną w miejscu jego środka ciężkości. Wpływa to również na zapis równań sił wewnętrznych!!!
Znając równania sił wewnętrznych, możesz właściwie od ręki obliczyć wartości na krańcach przedziałów i wykonać odpowiednie wykresy. Jeżeli równanie opisuje funkcję liniową, to sprawa jest banalna, jeżeli funkcję kwadratową (lub wyższą) to masz dwie możliwości – albo obliczysz wartości w kilku punktach przedziału (min. 3) lub skorzystasz z bardzo ważnej informacji…
Otóż funkcja siły tnącej jest pochodną momentu gnącego. Jeżeli znamy wykres pochodnej to bardzo łatwo narysować wykres funkcji – wiemy gdzie ona rośnie, gdzie maleje, a jeśli ma – to gdzie posiada ekstremum. Polecam powtórkę z matematyki – ale pozwolę sobie przypomnieć – jeśli siła tnąca w swoim przedziale przechodzi przez 0 (i nie tylko się z nim styka) to moment gnący ma tam swoje ekstremum.
Tak po prawdzie to wszystko co powinieneś/aś wiedzieć jeśli chodzi o rozpisywanie sił wewnętrznych za pomocą równań. Po przykłady wraz z opisem zapraszam do EquiBeam, a teraz zajmijmy się innym podejściem do rysowania wykresów – można powiedzieć, że odręcznym (jeśli jesteś mechanikiem to też warto to przeczytać).
Jak to robią budowlańcy… (a mechanikom by się przydało…)
Bardzo często na wydziałach związanych z budownictwem temat równań jest całkowicie pomijany, a od studentów wymaga się aby wykresy sił wewnętrznych były rysowane „odręcznie” i najlepiej w chwili spojrzenia na belką już magicznie się pod nią pojawiły J. I oczywiście- jeśli zna się podstawowe zasady i ma sporo doświadczenia (tak, niestety wymaga to przeliczenia kilku – kilkunastu belek) to taki wykres nawet dla skomplikowanych układów da się zrobić bardzo szybko. Poniżej zapiszę zalety i wady takiego podejścia do tematu:
Zalety rysowania sił wewnętrznych bez zapisywania równań:
- rysowanie wykresów sił wewnętrznych bez zapisywania równań pozwala znacznie skrócić czas obliczeń wytrzymałościowych,
- dla skomplikowanych układów (z dużą liczbą przedziałów i obciążeń) metoda ta zdecydowanie zmniejsza liczbę operacji matematycznych koniecznych do wykonania wykresu (znacznie trudniej się pomylić),
- dla prostych układów (np. bez obciążeń ciągłych) pozwala na błyskawiczne obliczenia przemieszczeń, za pomocą metod całkowania graficznego.
Wady rysowania sił wewnętrznych bez zapisywania równań:
- początkowo często trudno zrozumieć skąd biorą się takie (a nie inne..) zachowania wykresów – no bo przecież nie widzimy ich równań.
- obliczenia przemieszczeń metodami całkowania graficznego, często wymagają wykonywania dodatkowych operacji rozbijania wykresów na prostsze sumy lub zastosowanie tablic z formułami całek graficznych – dla niektórych przypadków wykresów formuły często nie są dostępne.
I podobnie jak w przykładzie dla mechaników – tutaj też możemy wskazać kilka zasad ogólnych, które umożliwią sprawne rysowanie:
- rysując wykres zakładamy, że zaczynamy rysowanie na wartości 0 i na wartości 0 musimy skończyć. Te wirtualne założenie pozwala szybko sprawdzić czy wykres jest poprawny bo bilansuje siły i momenty działające w układzie,
- pojawienie się siły skupionej w danym punkcie wywołuje skok na wykresie siły normalnej lub tnącej (nagłą zmianę wartości w danym punkcie) o wartość tej siły. Oczywiście siła wpływa na ten wykres na którym kierunku działa,
- pojawienie się momentu skupionego w danym punkcie wywołuje skok na wykresie momentu gnącego lub skręcającego o wartość tego momentu. Oczywiście, jak wyżej, moment wpływa na ten wykres na którym kierunku działa,
- obciążenie ciągłe wywołuje zmianę siły tnącej o taką wartość ile wynosi pole pod jego wykresem – zmiana siły tnącej w danym przedziale jest równa wartości pola pod wykresem obciążenia ciągłego w tym przedziale,
- siła tnąca jest pochodną momentu gnącego, więc bezpośrednio wskazuje jak powinien zmieniać się moment gnący. Automatycznie – moment gnący jest całką po sile tnącej – dlatego zmiana momentu gnącego w danym przedziale jest równa wartości pola pod wykresem siły tnącej.
I to właściwie wszystko – w temacie samego rysowania wykresów. Celem krótkiego podsumowania zwrócę uwagę na kilka szczegółów… Pisząc, że wirtualnie zaczynamy wykres od 0 miałem na myśli to, że jeśli w początkowym punkcie działa siła skupiona to w tym miejscu będzie skok wykresu sił od 0 do wartości tej siły – podobnie będzie z momentem skupionym dla wykresu momentu gnącego. Tak samo kończąc rysowanie wykresu, jeżeli nie skończyliśmy na wartości 0 to znaczy że w tym miejscu powinna się pojawić odpowiednia siła skupiona (lub moment skupiony) który mógłby wyzerować wykres gdyby belka była dłuższa.
W sytuacji rysowania wykresu momentów gnących, gdy działa obciążenie ciągłe – zawsze wykresem będzie fragment paraboli (lub wyższego wielomianu jeśli obciążenie jest zmienne). Kształt tej paraboli najłatwiej odczytać z wykresu siły tnącej! Jeżeli siłą tnąca nie przechodzi przez 0 – nie ma ekstremum – czyli wierzchołka paraboli. Jeżeli siła tnąca jest dodatnia – to parabola rośnie. Jeżeli na początku przedziału siła tnąca ma małą wartość dodatnią, a na końcu ma dużą wartość dodatnią, to parabola najpierw rośnie wolniej ale jej wzrost przyspiesza – grafika poniżej J.
Podsumowując: jeżeli znamy siły działające na belkę (w tym wartości reakcji podporowych), to możemy każdy wykres siły wewnętrznej narysować odręcznie w dość krótkim czasie. Po przykłady obliczeniowe z komentarzem zapraszam do EquiBeam, a poniżej znajdziecie film, w którym umówiłem jeden z takich przykładów.
Jeżeli dotarłeś do tego punktu – to dziękuję z przeczytanie artykułu. Jestem przekonany że rozjaśni Ci on kwestię podstaw obliczeń sił wewnętrznych i rysowania ich wykresów.