Momenty bezwładności figur płaskich – dwuteownik

Krótko o momentach bezwładności figur płaskich

• Obliczanie momentu bezwładności dwuteownika wymaga podziału przekroju na trzy prostokąty: dwa pasy (górny i dolny) oraz jeden środnik.
• Pierwszym krokiem jest wyznaczenie środka ciężkości całego przekroju, który w przypadku dwuteowników symetrycznych znajduje się dokładnie w połowie jego wysokości.
• Momenty bezwładności poszczególnych prostokątów składowych oblicza się według wzoru Ix=12b⋅h3​, gdzie h to wymiar prostopadły do rozpatrywanej osi.
• Twierdzenie Steinera jest niezbędne do obliczenia momentów bezwładności pasów, ponieważ ich własne osie środkowe nie pokrywają się z osią obojętną całego przekroju.
• Całkowity moment bezwładności dwuteownika jest sumą momentów bezwładności wszystkich trzech prostokątów sprowadzonych do wspólnej osi środkowej.
• W przypadku dwuteowników o symetrii względem obu osi, momenty bezwładności pasów są identyczne, co pozwala na uproszczenie obliczeń poprzez pomnożenie wyniku dla jednego pasa razy dwa.

Najczęściej chcecie wiedzieć…

Momenty bezwładności figur płaskich (przekrojów) są kluczowymi parametrami w analizie wytrzymałościowej konstrukcji, szczególnie w kontekście zginania belek.

Skupimy się na praktycznych przykładach obliczeń momentów bezwładności dla różnych typów przekrojów. Kolejny artykuł poświęcimy skomplikowanym figurom złożony z kilku różnych figur prostych.

Każdy przykład zostanie rozpisany krok po kroku, aby pokazać, jak prawidłowo wyznaczać momenty bezwładności oraz jak te wyniki wpływają na zachowanie konstrukcji pod obciążeniem.

Dzięki tym obliczeniom i ćwiczeniom z EquiBeam, zyskasz pewność w analizie wytrzymałościowej różnorodnych przekrojów.

Obliczenia przekroju: dwuteownik

W tym przykładzie zajmiemy się obliczeniami przekroju przedstawionego na poniższym rysunku:

Przekrój ten, nazywany dwuteownikiem, składa się z dwóch poziomych pasów (elementy na górze i dole przekroju) oraz pionowego środnika. Jest jednym z najczęściej wykorzystywanych elementów konstrukcyjnych ze względu na jego świetne właściwości wytrzymałościowe, związane z odpornością na zginanie.

Dodatkowo, w tym przypadku mamy do czynienia z dwuteownikiem nierównoramiennym, gdyż długości pasów górnego i dolnego nie są jednakowe. Dlaczego jest taki wytrzymały i dlaczego na tą wytrzymałość trzeba uważać dowiecie się z poniższych obliczeń.

Zanim zaczniemy analizę czysto obliczeniową, warto chwilę się zastanowić i wykonać wstępną klasyfikację przekroju.

Nasz dwuteownik jest figurą symetryczną względem osi pionowej – to powoduje, że już przed jakimikolwiek obliczeniami wiemy, że środek ciężkości przekroju znajduje się na tej osi.

Co więcej, wiemy że względem układu współrzędnych związanego z tą osią moment dewiacji będzie równy 0, tak więc oś pionowa będzie jedną z głównych centralnych osi bezwładności. Lokalizacja drugiej osi musi być jednak wyznaczona obliczeniowo, gdyż figura nie posiada poziomej osi symetrii.

Przejdźmy więc do obliczeń.

Podział na figury proste

Aby wykonać obliczenia momentów bezwładności złożonej figury płaskiej najpierw trzeba ją podzielić na figury proste, czyli takie jak prostokąty, trójkąty, koła.

Zaletą figur prostych są dwie podstawowe informacje: znamy położenia ich środków ciężkości oraz wzory na ich centralne momenty bezwładności. Jedno i drugie jesteśmy w stanie wyznaczyć analitycznie, co przedstawiłem w artykułach teoretycznych ????.

W przypadku teownika nierównoramiennego najłatwiej podzielić go na 3 prostokąty. Podział figury złożonej wraz z przyjętym (celowo nie względem osi symetrii) widzimy poniżej:

Na rysunku dodatkowo zaznaczono środki ciężkości figur prostych oraz ich centralne układy współrzędnych zwrócone zgodnie z globalnym układem współrzędnych. Od razu można zauważyć, że przy takim podziale środki ciężkości wszystkich figur prostych leżą na osi symetrii ????. Znajomość lokalizacji tych punktów pozwala nam obliczyć środek ciężkości.

Określanie środka ciężkości figur płaskich

Określmy lokalizacje środków ciężkości figur płaskich.

• zaczynając od pasa dolnego:
  • współrzędna z jest związana z osią symetrii: c_1z=3.5a
  • współrzędna y to połowa wysokości prostokąta: c_1y=0.5a
• następnie środnik:
  • c_3z=3.5a
  • współrzędna pionowa to suma wysokości pasa dolnego i połowy wysokości środnika: c_3y= a+0.5 4a = 3a
• i pas górny:
  • c_2z=3.5a
  •  współrzędna pionowa to suma wysokości pasa dolnego i środnika oraz połowy wysokości pasa górnego: c_2y= a+ 4a 0.5 a = 5.5a

Teraz możemy obliczyć momenty statyczne względem osi układu globalnego czyli iloczyny współrzędnych środków ciężkości figur i ich pól powierzchni.

Moment statyczny względem osi z liczymy jako odległości po osi y:

S_z=A_1 c_{y1}+A_2 c_{y2}+A_3 c_{y3}=(5a⋅a)⋅0.5a+(7a⋅a)⋅5.5a+(4a⋅a)⋅3a=

=2.5a^3+38.5a^3+12a^3=53a^3

Moment statyczny względem osi y liczymy jako odległości po osi z:

S_y=A_1 c_{z1}+A_2 c_{z2}+A_3 c_{z3}=(5a⋅a)⋅3.5a+(7a⋅a)⋅3.5a+(4a⋅a)⋅3.5a=

=17.5a^3+24.5a^3+14a^3=56a^3

W międzyczasie możemy policzyć pole całkowite figury:

A=5a^2+7a^2+4a^2=16a^2

Na koniec obliczamy lokalizację środka ciężkości:

c_y={\frac {S_z} {A}}={\frac{53a^3} {16a^2}}=3.3125 a,c_z={\frac{S_y}{A}}={\frac{56a^3}{16a^2}}=3.5a

Obliczenia potwierdziły, że środek ciężkości znajduje się na osi symetrii – składowa  (wszak nie mogło być inaczej) oraz określiły, że pozioma oś centralna znajduje się nieco wyżej od połowy wysokości przekroju. Mogliśmy to przypuszczać od początku, gdyż pas górny jest nieco dłuższy od dolnego ????.

Rysunek położenia środka ciężkości przekroju i jego osi centralnych  z_c i  y_c znajduje się poniżej:

Centralne momenty bezwładności figury płaskiej – obliczenia

Jeżeli znamy położenie osi centralnych możemy obliczyć momenty bezwładności figury płaskiej. Przypomnę, że obliczenia wykonamy sumując momenty centralne figur prostych względem odpowiedniej osi i uwzględniając odległość ich środków ciężkości od osi centralnych całej figury (twierdzenie Steinera).

Obliczenia zaczniemy od osi pionowej  – będzie trochę prościej:

I_{yc}=\Big ({\frac{(5a)^3⋅a}{12}}\Big)+\Big ({\frac{(7a)^3⋅a}{12}}\Big)+\Big ({\frac{a^3⋅4a}{12}}\Big)=\frac{125a^4+343a^4+4a^4} {12}=39.333 a^4

W powyższych obliczeniach widzimy wzory na momenty bezwładności prostokąta względem osi pionowej: w końcu liczymy moment bezwładności względem osi y_c czyli do potęgi trzeciej podniesione są te wymiary, które są prostopadłe do tej osi.

W dodatku, w równaniu nie występują składowe związane z tw. Steinera: ponieważ wszystkie punkty leżą na osi y_c, ich odległości od tej osi są równe 0.

Przejdźmy do obliczeń względem osi z_c :

I_{zc}=\Big(\frac{5a⋅a^3}{12}+5a^2⋅(0.5a-3.3125a)^2\Big)+\Big(\frac{7a⋅a^3}{12}+7a^2⋅\Big(5.5a-3.3125a)^2 \Big)+\Big(\frac{a⋅(4a)^3}{12}+4a^2⋅(3a-3.3125a)^2 )=

=(0.41667+39.55078) a^4+(0.58333+33.49609) a^4+(5.33333+0.390625) a^4

39.96745a^4+34.07942a^4+5.72396a^4=79.77083 a^4

W powyższych obliczeniach znowu widzimy wzory na momenty bezwładności prostokąta – tym razem względem osi poziomej: do potęgi trzeciej podniesione są te wymiary, które są prostopadłe do osi poziomej.

W równaniu występują składowe z tw. Steinera: żaden z punktów nie przechodzi przez oś z_c . W obliczeniach momentów z tw. Steinera odległość od osi możemy prosto policzyć odejmując od współrzędnych punktów w układzie początkowym, współrzędną środka ciężkości całej figury w układzie początkowym.

Pamiętajmy aby odległość podnieść do kwadratu, o czym często studenci zapominają. Co więcej,podniesienie do kwadratu powoduje, że nie jest ważne które składowe od siebie odejmiemy ????.

Podsumowując: obliczyliśmy centralne momenty bezwładności naszego dwuteownika. Momentu dewiacji nie ma co liczyć, bo i tak będzie równy 0 (figura symetryczna i układ centralny związany z osią symetrii!).

Określenie głównych centralnych momentów bezwładności

Powinniśmy zauważyć, że geometryczny moment bezwładności względem osi z_c jest zdecydowanie większy (właściwie 2-krotnie) od momentu względem osi y_c, pomimo tego, że figura jest „bardziej szeroka” niż „wysoka”.

Jak wiecie z artykułów teoretyczno-rozrywkowych, w analizie momentu bezwładności nie liczy się tylko wymiar przekroju, ale dokładniej rozkład jego pola powierzchni. W analizowanym przykładzie pole jest zdecydowanie bardziej oddalone od osi z_c – poprzez istnienie pasów, niż od osi y_c .

Jak możecie się domyślić: właśnie taki jest zamysł istnienia dwuteowników, aby maksymalnie odsunąć pole powierzchni od preferowanej osi zginania.

Tutaj dochodzimy do tego, na co trzeba uważać: dwuteownik (w takim ułożeniu) jest odporny na zginanie głównie względem osi poziomej i tak powinien być wykorzystywany. Jego parametry na zginanie względem osi pionowej nie są już takie dobre.

W tym kontekście, możemy przypomnieć sobie o głównych centralnych bezwładności. To właśnie te wartości momentów bezwładności, które osiągają wartości ekstremalne i są związane z układem centralnym, dla którego moment dewiacyjny jest równy 0.

Tak więc – pierwszy (maksymalny) moment główny jest związany z osią z_c i wynosi:

I_1=I_{max}=I_{zc}=79.77083 a^4

A drugi (minimalny) moment bezwładności jest związany z osią y_c i wynosi:

I_2=I_{min}=I_{yc}=39.333 a^4

W tym przykładzie pokazałem obliczenia momentów bezwładności dość prostej figury. Kolejne przykłady możecie przećwiczyć sami, to znaczy nie sami tylko z aplikacją EquiBeam.

W kolejnym kroku zapraszam do przeczytania artykułu związanego z przekrojem złożonym z trochę mniej przyjemnych figur prostych. Tego typu przekroje często są zadawane przez prowadzących, aby „szczegółowo” zbadać wiedzę studentów ????.