Momenty bezwładności figur płaskich – twierdzenie Steinera (przykład)

W tym artykule przedstawię obliczenia parametrów złożonego przekroju. W przykładzie określimy położenia środków ciężkości figur prostych. Ich znajomość będzie konieczna do obliczeń momentów bezwładności z wykorzystaniem twierdzenia Steinera.

Kolejne kroki:

• rozpoczniemy analizą przekrojów prostych,
• określimy położenie środka ciężkości przekroju,
• korzystając z twierdzenia Steinera obliczymy momenty bezwładności względem osi centralnej,
• skończymy na obliczeniach momentów i osi głównych.

W poprzednim artykule przedstawiłem schemat postępowania związany z obliczeniami momentów bezwładności w przypadku figur symetrycznych. Jeżeli go nie przeczytaliście, to zachęcam do nadrobienia materiału.

W dzisiejszym przykładzie zajmiemy się obliczeniami znacznie bardziej skomplikowanego przekroju:

Tak jak poprzednio, zaczniemy od prostej klasyfikacji przekroju.

W tym przypadku, mówiąc w skrócie – pod kątem obliczeniowym jesteśmy w.. hmm… dużej „D”. Przekrój zdecydowanie nie jest figurą symetryczną. Trzeba będzie liczyć dosłownie wszystko, a od równań momentów bezwładności z wykorzystaniem twierdzenia Steinera, rozboli Was głowa. Dodatkowo, składa się również z ulubionych figur prostych studentów – półkola i ćwiartki koła. Określenie środków ciężkości i centralnych momentów bezwładności tych figur gwarantuje, że nie będzie przyjemne ????. Tak czy inaczej, zmierzymy się z tym przekrojem i jestem przekonany, że wyjdziemy z tej walki zwycięsko.

Zacznijmy od podsumowania danych o figurach prostych.

Podział na figury proste

Podział przekroju właściwie jest widoczny na pierwszym rysunku: mamy trójkąt prostokątny, ćwiartkę koła i wycięte półkole. Zbierzmy teraz dane o ich wymiarach, określmy lokalizacje ich środków ciężkości i innych parametrów w przedstawionym układzie współrzędnych.

Dla trójkąta prostokątnego b=2a, h=a, położenie środka ciężkości na osi z to 1/3 szerokości, a na osi y to suma promienia ćwiartki koła i 1/3 wysokości:

c_{z1}=\frac 1 3 b=\frac 23 a,c_{y1}=2a+\frac1 3⋅h=2\frac 13 a

Pozostałe parametry to pole powierzchni i centralne momenty bezwładności i dewiacji względem jego środka ciężkości (uwaga na znak minus przy momencie dewiacji, który wynika z konfiguracji geometrycznej trójkąta):

A_1=\frac 12 bh=\frac12⋅2a⋅a=a^2,I_{zc1}=\frac {bh^3} {36}=\frac{2a⋅a^3}{36}=\frac1 {18} a^4

I_{yc1}=\frac {b^3h} {36}=\frac{(2a)^3⋅a}{36}=\frac2 9 a^4, D_{zy1}=\frac {b^2h^2} {72}=\frac{(2a)^2⋅a^2}{72}=\frac1 {18} a^4

Dla ćwiartki koła R=2a, położenie środka ciężkości na osi z określimy na podstawie wzoru ogólnego (poniżej), a na osi y to wartość ze wzoru trzeba odjąć od położenia środka tej ćwiartki (2a):

c_{z2}=\frac {4R} {3π}=\frac{4⋅2a}{3π}=\frac 8{3π}  a≈0.84883a,c_{y2}=2a-\frac{4R}{3π}=\big(2-\frac 8{3π}\big)a≈1.15117a

Pole powierzchni to oczywiście 1/4 pola koła, co do momentów centralnych – wzory i opis znajdziecie w naszym artykule Wstęp do analizy przekrojów poprzecznych. Tutaj też uwaga na znak przy momencie dewiacji.

A_2=\frac14 πR^2=\frac 14 π(2a)^2=πa^2≈3.1416a^2

I_{zc2}=I_{yc2}=r^4 \Big(\frac π{16}-\frac 4{9π}\Big)=(2a)^4⋅\Big(\frac π{16}-\frac 4{9π}\Big)≈0.87806a^4

D_{zy2}=-r^4 \Big(\frac 1 8-\frac 4{9π}\Big)=-(2a)^4⋅\Big(\frac π{16}-\frac 4{9π}\Big)≈0.263537a^4

Dla półkola r=a, położenie środka ciężkości na osi z określimy na podstawie wzoru ogólnego (poniżej), a na osi y oczytamy z rysunku:

c_{z3}=\frac {4r}{3π}=\frac {4⋅a}{3π}=\frac 4{3π}a≈0.42441a,c_{y3}=1.5a

Pole powierzchni to oczywiście 1/2 pola koła, pozostałe wzory również znajdziecie w powyższym artykule. Moment dewiacji jak dla figury symetrycznej i dla przyjętego układu współrzędnych będzie równy 0.

A_3=\frac 12 πr^2=\frac12 πa^2≈1.5708a^2,D_{zy3}=0

 I_{zc3}=\frac {πr^4}8=\frac {πa^4}8=0.3927 a^4,I_{yc3}=r^4 \Big(\frac π8 -\frac 8{9π}\Big)=a^4⋅\Big(\frac π8-\frac 8{9π}\Big)≈0.10976a^4

Uffffff… Jakoś przez to przebrnęliśmy i w sumie najgorsze za nami. Jeżeli określiliśmy wszystkie parametry figur prostych to jedyne co nam zostało to żmudne podstawianie do wzorów. Jasne to też nie jest zbyt przyjemne i łatwo się pomylić – np. dlatego powstała nasza aplikacja EquiBeam ????. To teraz policzmy położenie środka ciężkości.

Określenie środka ciężkości – twierdzenie Steinera

Skorzystamy z tych samych wzorów, z których zawsze korzystamy do tych obliczeń – wyznaczymy pole powierzchni, momenty statyczne itd. Jedyne, na co warto zwrócić uwagę, to że wycięte półkole zawsze w obliczeniach będzie odpowiednio odejmowane.

A=a^2+3.1416a^2-1.5708a^2=2.5708a^2

S_z=A_1 c_{y1}+A_2 c_{y2}-A_3 c_{y3}=a^2⋅2 frac13 a+3.1416a^2⋅1.15117a-1.5708a^2⋅1.5a=

=2 \frac13 a^3+3.616522a^3-2.3562a^3=3.59366a^3

S_y=A_1 c_{z1}+A_2 c_{z2}-A_3 c_{z3}=a^2⋅\frac 23 a+3.1416a^2⋅0.84883a-1.5708a^2⋅0.42441a=

=\frac2 3 a^3+2.66667a^3-0.666667a^3=2 \frac23 a^3

Na koniec obliczamy lokalizację środka ciężkości:

c_y=frac {S_z}A=frac {3.59366a^3}{2.5708a^2}=1.39788 a,c_z=frac {S_y} A=frac {2.66667a^3}{2.5708a^2}=1.03729a

Położenie środka ciężkości oraz centralnego układu współrzędnych zgodnego kierunkami z układem początkowym (jak również układ główny, który za chwilę określimy) widzimy poniżej:

Teraz zostały nam końcowe obliczenia związane z momentami bezwładności i dewiacji.

Obliczenia centralnych momentów bezwładności

Jak by to napisać…niezależnie od tego jak nieprzyjemne dane wejściowe mamy do wykorzystania, wzory na obliczenia centralnych momentów bezwładności figury będą dalej takie same (i zawsze są takie same).

Pamiętamy o wartościach momentów bezwładności wszystkich figur prostych, dodajemy efekty z twierdzenia Steinera, uwzględniamy znaki związane z tym czy figura jest dodawana czy odejmowana od przekroju:

I_zc=(I_zc1+A_1⋅(c_y1-c_y )^2 )+(I_zc2+A_2⋅(c_y2-c_y )^2 )-(I_zc3+A_3⋅(c_y3-c_y )^2 )=

=(frac1{18} a^4+a^2⋅(2frac13 a-1.39788 a)^2 )+

+(0.87806a^4+3.1416a^2⋅(1.15117a-1.39788 a)^2 )-

-(0.3927 a^4+1.5708a^2⋅(1.5a-1.39788 a)^2 )=1.59081a^4

I_{yc}=(I_{yc1}+A_1⋅(c_z1-c_z )^2 )+(I_{yc2}+A_2⋅(c_z2-c_z )^2 )-(I_{yc3}+A_3⋅(c_z3-c_z )^2 )=

(frac 29 a^4+a^2⋅(frac23 a-1.03729a)^2 )+

+(0.87806a^4+3.1416a^2⋅(0.84883a-1.03729a)^2 )-

-(0.10976a^4+1.5708a^2⋅(0.42441a-1.03729a)^2 )=0.64945 a^4

Tematem, który nie został omówiony w poprzednim artykule są obliczenia momentu dewiacji.

Obliczenia te wykonujemy analogicznie jak obliczenia momentów bezwładności – dodajemy wartości z figur prostych i uwzględniamy twierdzenie Steinera, przy czym – w przeciwieństwie do momentów bezwładności, momenty dewiacji mogą być ujemne i trzeba tutaj szczególnie uważać na znaki.

Jeżeli środek ciężkości figury prostej znajduje się w 1 lub 3 ćwiartce centralnego układu współrzędnych, to moment dewiacji z twierdzenia Steinera musi być dodatni. Jeśli znajduje się w 2 i 4 to będzie ujemny.

Z tego powodu najwygodniej stosować wzór:

D_{zcyc}=(D_{zy1}+A_1⋅(c_{z1}-c_z )(c_{y1}-c_y ))+(D_{zy2}+A_2⋅(c_{z2}-c_z )(c_{y2}-c_y ))-(D_{zy3}+A_3⋅(c_{z3}-c_z )(c_{y1}-c_y ))=

Bigg(-frac1{18} a^4+a^2⋅Big(frac23 a-1.03729aBig)Big(2 frac13 a-1.39788 aBig)Bigg)+

+(0.263537a^4+3.1416a^2⋅(0.84883a-1.03729a)(1.15117a-1.39788 a))-

-(0+1.5708a^2⋅(0.42441a-1.03729a)(1.5a-1.39788 a))=0.10566a^4

Policzyliśmy już wszystkie mało przyjemne wzory, które należało przedstawić w ramach tego artykułu. Jak widać, moment dewiacji, który obliczyliśmy nie jest równy 0, a to oznacza, że poza przyjętym do obliczeń układem centralnym, możemy wyznaczyć układ główny centralny, względem którego powinny być wykonywane obliczenia wytrzymałościowe przekroju (jeśli chcemy korzystać z typowych prostych wzorów na naprężenia).

Obliczenia głównych centralnych momentów bezwładności

Na nasze szczęście obliczenia głównych momentów bezwładności wraz z lokalizacją osi głównych są bardzo proste. Korzystamy do tego ze wzorów związanych z kołem Mohra:

I_{1,2}=frac{I_{zc}+I_{yc}}2±sqrt{Big(frac {I_zc-I_{yc}}2Big)^2+D_{zy}^2}

Wystarczy więc tylko podstawić dane:

I_1=frac {1.59081a^4+0.64945 a^4}2+sqrt{Big(frac {1.59081 a^4-0.64945 a^4}2Big)^2+(0.10566a^4 )^2}

I_1=1.60253a^4

I_2=frac {1.59081a^4+0.64945 a^4}2-sqrt{Big(frac {1.59081 a^4-0.64945 a^4}2Big)^2+(0.10566a^4 )^2}

I_2=0.63773a^4

Możemy zauważyć, że faktycznie moment główny I₁  jest odrobinę większy od momentu I_zc, a moment I₂  jest odrobinę mniejszy od momentu I_yc.

W kwestii osi głównych – wystarczy określenie jednego kąta i jego interpretacja:

2φ=arctgBigg(frac{-2D_{zc}}{I_{zc}-I_{yc} }Bigg)=arctg⁡Bigg(frac{-2⋅0.10566a^4}{1.59081 a^4-0.64945 a^4}Bigg)→φ=-6.32613°

Wynik oznacza, że jedna z osi głównych będzie przesunięta o kąt φ względem aktualnego centralnego układu współrzędnych. Warto jednak wskazać, że jeśli I_zc>I_yc to kąt wskazuje na oś I₁, natomiast jeśli I_yc>I_zc to kąt wskazuje na oś I₂. W przypadku naszych obliczeń mamy do czynienia z pierwszą sytuacją. Rysunek z układem głównym mogliście zobaczyć powyżej ????. To by było na tyle.

Więcej rozwiązań przykładów możecie przeanalizować w EquiBeam!

Momenty bezwładności figur płaskich (przekroju) to obok sił wewnętrznych najważniejsze parametry w analizie wytrzymałościowej. Przykłady pokazały, jak prawidłowo obliczać wartości centralnych i głównych momentów bezwładności dla różnych typów przekrojów, co pozwala na lepsze zrozumienie odporności konstrukcji na zginanie.

Opanowanie tej umiejętności to istotny krok w analizie wytrzymałościowej i projektowaniu konstrukcji. Dzięki przedstawionym obliczeniom oraz przykładom w aplikacji EquiBeam możesz pewniej przystąpić do dalszych, bardziej zaawansowanych obliczeń.