Wstęp do analizy przekrojów poprzecznych (1)

Home » Blog » Inne obliczenia » Obliczenia przekrojów » Wstęp do analizy przekrojów poprzecznych (1)

„Powtórka z dodawania i mnożenia”

Trzeci artykułu bloga MechaDevs będzie dotyczył bardzo prostego (i naprawdę schematycznego) zagadnienia jakim są obliczenia parametrów przekrojów poprzecznych belek, ram czy kratownic.

Lekturą obowiązkową przed zapoznaniem się z tym artykułem, jest zdecydowanie tekst o analizie sił wewnętrznych w belkach – przedstawiam tam spory wstęp związany z tym, dlaczego analiza przekroju jest konieczna i często bywa głównym etapem projektowania różnego rodzaju konstrukcji.

Artykuł został podzielony na dwie części, a w tej omówimy totalne podstawy, czyli:

Po co liczymy parametry przekrojów poprzecznych? Przekrój ważna rzecz!

Jeżeli pomimo mojego zalecenia nie zapoznałaś/eś się z artykułem o siłach wewnętrznych, to spróbuję w kilku słowach powtórzyć kwintesencję tego, co zostało tam zapisane w kontekście obliczeń parametrów przekrojów.

Powiedziałbym, że najważniejszym pojęciami w całej tej zabawie są naprężenia i przemieszczenia. Tak i jedno, tak i drugie, w przypadku obliczeń obiektów jednowymiarowych (czyli takich, których długość jest znacznie większa od pozostałych wymiarów), jest bezpośrednio zależne od podparcia, obciążeń i właśnie parametrów przekroju poprzecznego. Tematyką tego, jak sposób podparcia belki i przyłożone obciążenia wpływają na wytrzymałość (a dokładniej na wykresy sił wewnętrznych) zajmował się właśnie wspomniany wcześniej artykuł.

W tym, jak z resztą wskazuje tytuł, omówimy jakie parametry przekroju są istotne w kontekście analizy naprężeń i przemieszczeń belki

Dla przypomnienia

przekrojem poprzecznym belki jest figura płaska otrzymana poprzez przecięcie belki płaszczyzną prostopadłą do osi tej belki

Taka figura geometryczna posiada zestaw cech, które w pełni ją charakteryzują i mają wpływ na wytrzymałość całej belki (w kontekście wartości naprężeń w niej występujących) oraz jej sztywność (czyli odporności na przemieszczanie się pod wpływem obciążenia). Kilka z tych jakże istotnych cech bardzo dobrze znasz chociażby ze szkoły podstawowej – są nimi np. pole powierzchni przekroju , czy położenie środka ciężkości.

Dlaczego stwierdziłem, że tak proste do określenia cechy przekroju są tak istotne?

Dlatego, że w przypadku stanu czystego rozciągania lub ściskania belki to właśnie pole przekroju wpływa na stan naprężeń i przemieszczeń.

Pozostałe cechy są istotne dla innych przypadków wytrzymałościowych. Przykładowo, jeżeli będziemy analizować stan naprężenia przy zginaniu prostym konieczne będzie określenie kolejnej cechy czyli centralnego momentu bezwładności przekroju (załóżmy, że zginanie odbywa się względem osi, która jest główną centralną osią bezwładności – ale o tym opowiem później 😊).

Przy analizie naprężeń stycznych przy ścinaniu wykorzystamy dodatkowo momenty statyczne (dla odciętej części przekroju – to w artykule o naprężeniach). W przypadku skręcania analizuje się współczynnik sztywności na skręcanie, którego obliczenia są bardziej skomplikowane – poświęcę temu dodatkowy artykuł.

Podsumowując powyższe rozważania:

przy analizie przemieszczeń i naprężeń belek, ram i kratownic wykorzystuje się różne parametry związane z geometrią przekroju poprzecznego elementu

Teraz zajmijmy się tematem określania położenia środka ciężkości przekroju, którego lokalizacja jest bardzo ważna w przypadku obliczeń układów zginanych.

Momenty statyczne i środek ciężkości przekroju– pole, pole, gdzie te pole…

Zanim przejdziemy do jakichkolwiek obliczeń warto sobie uświadomić kilka spraw związanych z kształtem przekrojów poprzecznych powszechnie stosowanych w przemyśle.

Poza tym, że bardzo często wykorzystuje się przekroje oparte na podstawowych figurach geometrycznych (np. przekroje kołowe i kwadratowe), które będziemy nazywać przekrojami prostymi, to zdecydowana większość typowych przekrojów (np. rury kołowe, kwadratowe, teowniki, kątowniki itp.) może być reprezentowana przez połączenia kilku figur prostych (czasem stosując pewne uproszczenia – np. usuwając małe zaokrąglenia itp.). W takich przypadkach mówimy o analizie przekrojów złożonych.

Jak za chwilę się z resztą okaże, analiza przekrojów złożonych polega głównie na podziale przekroju na zestaw figur prostych i określaniu pewnych parametrów osobno dla każdej figury prostej. Jest to o tyle wygodne, że dla figur prostych pewne parametry geometryczne można bardzo łatwo określić analitycznie, stąd też w dalszych obliczeniach możemy posługiwać się „gotowymi wzorami”.

Ale o czym to ja miałem pisać…

A, o obliczeniach środka ciężkości… No więc, zaczniemy z grubej rury:

środkiem ciężkości przekroju będziemy nazywać taki punkt, że jeżeli wstawimy do niego układ współrzędnych, to momenty statyczne tego przekroju względem wstawionych osi będą równe 0.

Hmm, zabrzmiało enigmatycznie, szczególnie, że od razu pojawiło się tutaj pojęcie, które nigdzie wcześniej nie zostało omówione, a dokładniej moment statyczny przekroju. Wyjaśnijmy więc sobie na szybko co to jest ten moment statyczny i jak się go liczy w typowych zadaniach…

Gdybyśmy mieli ten temat bardzo skomplikować to moglibyśmy powołać się na teorię i matematykę. Wtedy powiedzielibyśmy, że momenty statyczne definiuje dla osi danego układu współrzędnych i danej figury ze wzorów:

S_x=∫_Ay dA,
S_y=∫_Ax dA

gdzie: x i  y są współrzędnymi w danym układzie, a  to takie najmniejsze wycinki pola powierzchni tej figury.

Wiem jak lubicie całki (a już szczególnie po polu powierzchni), ale możecie mi wierzyć, że dla figur prostych można je bardzo łatwo policzyć. Dzięki tym wzorom i wykorzystując definicję środka ciężkości można zatem łatwo określić (w sposób parametryczny) lokalizacje środków ciężkości dla figur takich jak prostokąt, trójkąt prostokątny, trójkąt równoramienny, wycinek koła itp.

Jak pisałem powyżej, takie parametrycznie obliczone lokalizacje dla figur prostych są właśnie naszymi „gotowymi wzorami”, które możemy wykorzystać do obliczeń prowadzonych dla figur złożonych.

O czym więc należy pamiętać licząc momenty statyczne dla figur złożonych?

Uwaga, to będzie bardzo proste:

  • po pierwsze (primo!) – dla przypomnienia moment statyczny figury określamy względem jakiejś osi jakiegoś układu współrzędnych,
  • po drugie (primo!) – moment statyczny figury prostej względem danej osi jest równy iloczynowi pola przekroju tej figury i odległości od osi do środka ciężkości figury prostej,
  • po trzecie (primo!) – odległość pomiędzy osią a punktem zawsze jest mierzona w kierunku prostopadłym do tej osi.
  • po czwarte (primo ultimo!) – jeżeli figura złożona powstaje poprzez dodawanie przekrojów prostych to momenty statyczne tych figur prostych również się dodają. Jeżeli jakaś figura prosta jest „wycinana” z innej figury lub zestawu figur prostych to jej moment statyczny jest odejmowany.

Wykorzystując powyższe uwagi oraz znajomość położeń środków ciężkości dla figur prostych możemy uprościć kwestie obliczeń momentu statycznego figury złożonej względem danego przyjętego układu współrzędnych. Uproszczenie to polega na zastąpieniu znienawidzonej całki – zwykłą sumą:

S_x=\displaystyle\sum_{i=1}^nc_{yi}⋅A_i,
S_y=\displaystyle\sum_{i=1}^nc_{xi}⋅A_i

gdzie:  cx i cy są współrzędnymi środków ciężkości figury prostej w danym układzie, a Ai to jej pole powierzchni.

Taką sumę wykonujemy po wszystkich figurach prostych, z których został utworzony przekrój złożony. W razie wątpliwości spójrzcie na poniższą animację:

Jeszcze dwie drobne uwagi – zawsze starajcie się pomyśleć chwilę nad podziałem przekroju złożonego na figury proste!

Idąc z duchem lenistwa (ale również optymalizacji!) im mniej przekrojów prostych, tym mniej obliczeń, a co za tym idzie mniej miejsca na błędy rachunkowe (które, wierz mi, zdarzają się bardzo często!).

Druga sprawa – czasami może się zdarzyć, że wykonując obliczenia momentów statycznych otrzymamy ujemne wyniki. To nie jest nic złego, bo wynik zależy od lokalizacji przyjętego układu współrzędnych – oznaczać to będzie, że punkt środka ciężkości posiada ujemną współrzędną. Aby momenty statyczny był zawsze dodatni, układ należy wprowadzić tak, aby cała figura znajdowała się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych – wtedy wszystkie współrzędne środków ciężkości figur prostych są dodatnie.

Myślę, że mogę teraz założyć, że jesteś w stanie obliczyć moment statyczny każdego przekroju złożonego, względem dowolnego układu współrzędnych. Przejdźmy zatem do obliczeń położenia środka ciężkości – w końcu od tego się zaczęło… Tak naprawdę, znając wartości momentu statycznego danej figury względem osi danego układu współrzędnych, obliczenia położenia środka ciężkości są zwykłą formalnością. Wystarczy wykorzystać wzory:

C=(c_x,c_y )   →  c_x=\frac{S_y}{A}=\frac{∑c_{xi}A_i }{A},
c_y=\frac{S_y}{A}=\frac{∑c_{yi}A_i }{A}

Jak widzisz, współrzędne środka ciężkości w przyjętym układzie współrzędnych (w tym, względem którego liczyliśmy momenty statyczne) to po prostu iloraz momentów statycznych względem odpowiednich osi i całkowitego pola powierzchni figury.

Gdybyśmy rozwinęli te wzory (wstawiając uproszczoną definicję momentu statycznego) to okazałoby się, że współrzędne środka ciężkości wynikają ze średniej ważonej współrzędnych środków figur składowych, gdzie wagami są pola tych figur 😊.

Uwaga – powyższe obliczenia czasami można uprościć (a właściwie ich nie wykonywać…) kiedy mamy do czynienia z figurą symetryczną. Jeżeli figura ma oś symetrii to na pewno środek ciężkości leży na tej osi. Jeżeli ma więcej osi – to środek ciężkości na pewno leży na ich przecięciu!

Jeżeli obliczymy lokalizację środka ciężkości całej figury złożonej to śmiało możemy do tego punktu wprowadzić nowy układ współrzędnych. Taki układ współrzędnych będziemy nazywać centralnym układem współrzędnych.

Gdyby nam się nudziło, lub mielibyśmy za dużo czasu moglibyśmy ponownie obliczyć momenty statyczne względem centralnego układu współrzędnych… Jak myślisz – jakie wartości  i  powinnyśmy otrzymać?

Tak! Zgodnie z definicją środka ciężkości podaną powyżej – momenty statyczne względem osi centralnych są równe 0!

Teraz po wszystkim możemy tą definicję zapisać trochę bardziej po ludzku

środek ciężkości to punkt, względem którego pole przekroju poprzecznego jest równomiernie rozłożone

Przykłady przekrojów prostych – wracamy do przedszkola…

Ostatnim tematem poruszonym w tym artykule będzie kwestia przekrojów prostych.

Przecież wszędzie zakładaliśmy, że wszystko już znamy – wzory na pola powierzchni, położenia środków ciężkości itp… No więc… praktyka sugeruje, że jednak czasem lepiej to powtórzyć, bo przecież zawsze można było o czymś zapomnieć.

Z tego powodu na poniższej grafice przedstawiłem podstawowe parametry figur prostych, które najczęściej pojawiają się w analizach środka ciężkości figur złożonych.

Przykłady parametrów figur prostych

Dodatkowo na grafice pojawią się też wzory na centralne momenty bezwładności i dewiacji, które zostaną wyjaśnione i wykorzystane w drugiej części artykułu.

Dobra – wiesz już czym jest środek ciężkości przekroju poprzecznego, z czego wynika jego lokalizacja i dlaczego do jej określenia potrzebne są momenty statyczne. Teraz wypadałoby dowiedzieć się czym są geometryczne momenty bezwładności przekroju – zapraszam do drugiej części artykułu!

INNE WPISY W TEJ KATEGORII