Analiza przekrojów poprzecznych (2) – momenty bezwładności

Home » Blog » Inne obliczenia » Obliczenia przekrojów » Analiza przekrojów poprzecznych (2) – momenty bezwładności

„Od bezwładności do dewiacji…”

W drugiej części artykułu o analizie parametrów przekrojów poprzecznych omówię wszystko, co powinnaś/eś wiedzieć w temacie geometrycznych momentów bezwładności przekrojów.

Przedstawię tematy:

Moment bezwładności i dewiacji – jak daleko jesteśmy od centrum?

Zakładając, że jesteś po lekturze pierwszej części artykułu, powinnaś/eś wiedzieć, że do określenia lokalizacji środka ciężkości przekroju przydają się pewne wielkości nazywane momentami statycznymi.

Wiesz też, że do ich opisu można wykorzystać taką sympatyczną całeczkę… Jak pewnie się domyślasz, fizycy i matematycy lubią podnosić sobie poprzeczkę więc temat momentów bezwładności również od tego zaczniemy… A dokładniej podbijemy sobie potęgę… Najlepiej z pierwszej do drugiej, żeby nie było za ciężko…

Tak więc wstępny opis momentów bezwładności zaczniemy od zapisania ogólnego wzoru:

I_x=∫_Ay^2  dA,
I_y=∫_Ax^2  dA

A teraz tak na poważnie – powyższe wzory nie są jakimś widzimisię matematyków. Całki te powstają wskutek rozwiązania zagadnienia osi ugiętej belki zginanej, wynikającego z relacji pomiędzy momentem działającym na belkę, a jej promieniem krzywizny. Można powiedzieć, że całki te zostały wyciągnięte z tego rozwiązania i określone jako parametry geometryczne nazwane później geometrycznym momentem bezwładności.

Analizując przestawione całki, podobnie jak poprzednio, możemy powiedzieć, że w jakiś sposób opisują one rozkład pola powierzchni przekroju względem osi jakiegoś układu współrzędnych. Tym razem jednak współrzędna występuje w drugiej potędze, a to oznacza, że momenty bezwładności nie mogą być ujemne!

Kolejną informacją, którą możemy wyciągnąć z tej całki jest to, że im dalej od zakładanej osi „występuje” pole przekroju tym moment bezwładności będzie miał większą wartość.

Jak sam/a widzisz analiza momentów bezwładności jest bardzo podobna do analizy momentów statycznych. Takich podobieństw będzie jeszcze wiele – np.:

  • momenty bezwładności możemy definiować względem osi dowolnego układu współrzędnych – niezależnie gdzie będzie położony i jak zorientowany – chociaż w większości przypadków takie obliczenia nie będą miały sensu fizycznego (o czym za chwilę…),
  • momenty bezwładności można prosto policzyć z powyższych wzorów analitycznych dla wszystkich figur prostych, a następnie korzystać z nich w formie „gotowych wzorów” – przykład obliczeń dla prostokąta został zamieszczony na poniższej grafice,
  • najczęściej te „gotowe wzory” są związane ze środkiem ciężkości figury prostej i opisują obliczenia momentów bezwładności zdefiniowanych względem osi centralnego układu współrzędnych danej figury. Osie takiego układu będziemy nazywać centralnymi osiami bezwładności, a momenty zdefiniowane względem tych osi (jak się domyślacie…) centralnymi momentami bezładności figury.

Skoro już wiemy czym są momenty bezwładności od strony definicji i obliczeń analitycznych, powinniśmy przejść do obliczeń momentów bezwładności przekrojów złożonych… Zanim jednak to zrobimy, omówmy ostatni składnik układanki, którą za chwilę będziemy analizować.

Elementem tym jest coś co nazywamy momentem dewiacji. Analitycznie moment dewiacji określamy wzorem, który można powiedzieć miesza to co opisują momenty statyczne:

D_{xy}=∫_AxydA

Tak jak momenty statyczne były pewnym wskaźnikiem określającym jak równomiernie pole powierzchni figury było rozłożone względem danej osi układu współrzędnych (pamiętamy że kiedy układ wsp. był w środku ciężkości to momenty statyczne były równe 0), tak moment dewiacji opisuje jak równomiernie rozłożone jest pole powierzchni względem „dodatnich” i „ujemnych” ćwiartek układu współrzędnych.

Gdybyśmy się przyjrzeli elementom tej całki to zauważymy tam iloczyn współrzędnej x i y. Znaczy to, że jeżeli fragment pola powierzchni znajduje się w I lub III ćwiartce układu współrzędnych to jego moment dewiacji będzie dodatni (bo albo mnożymy dwie wartości dodatnie, albo dwie wartości ujemne), natomiast jeżeli fragment pola leży w II lub IV ćwiartce układu współrzędnych to jego moment dewiacji będzie ujemny (mnożymy dodatnią współrzędną z ujemną współrzędną).

Podsumowując moment dewiacyjny może być dodatni, ujemny lub równy 0 – wszystko zależy od tego jak zorientowana jest figura względem określonego układu współrzędnych (lub układ względem figury). Aby lepiej to zrozumieć, spójrzcie na poniższą grafikę.

Przejdźmy teraz do analizy przekrojów złożonych, która na swój sposób znowu będzie podobna do analizy momentów statycznych.

Centralne osie i momenty bezwładności – tu się zgina…

Obliczając środek ciężkości figury złożonej, korzystaliśmy z uproszczonego zapisu momentu statycznego, który zamiast całki posiadał w sobie sumę po figurach prostych.

Dokładnie tak samo będzie w przypadku obliczeń momentów bezwładności figury złożonej. Należy ją rozparcelować na zestaw figur prostych, a następnie zsumować momenty bezwładności każdej z nich (lub odjąć jeśli figura prosta była „wycinana” ze złożonej), względem przyjętego układu współrzędnych.

Natomiast powstaje tu pewien problem! Wcześniej zwróciłem uwagę, że

„gotowe wzory” na momenty bezwładności figur prostych dotyczą momentów obliczonych względem centralnych układów współrzędnych…

Czy to oznacza, że jeżeli chcę policzyć moment bezwładności względem dowolnej osi to musimy wracać do całkowania…? Na szczęście nie!!! Z pomocą przychodzi nam Pan Jakob Steiner, który uprościł nam życie zapisując jak się domyślasz twierdzenie Steinera:

Moment bezwładności figury względem dowolnej osi jest równy sumie centralnego momentu bezwładności względem osi równoległej do osi analizowanej oraz iloczynu pola powierzchni i kwadratu odległości między tymi osiami.

Innymi słowy, jak chcemy policzyć moment bezwładności figury prostej względem danej osi, to szukamy w „gotowych wzorach” wartości momentu centralnego – z tym zastrzeżeniem, że odnajdujemy go dla odpowiedniej osi (tak… tej równoległej do naszej…), a następnie szukamy odległości między tymi osiami (tak… odległość między osiami może być podana tylko jeśli są równoległe…).

Jak już znajdziemy odległość to dodajemy do momentu centralnego iloczyn pola powierzchni i długości podniesionej do drugiej potęgi. Tak czy siak wzór ten można podać matematycznie (np. dla osi  równoległej do osi centralnej xc):

I_x=I_{xc}+A⋅y_p^2

Podobnie jest z obliczeniami momentu dewiacji – aby obliczyć go względem danego układu współrzędnych sumujemy moment dewiacji względem układu centralnego danej figury i iloczyn pola powierzchni i współrzędnych środka ciężkości tej figury w danym układzie:

D_{xy}=D_{xc  yc}+A⋅x_p⋅y_p

Jeśli masz jeszcze jakiekolwiek wątpliwości spójrz na grafikę:

Przy okazji, dla przypomnienia w poprzednim artykule znajdziesz gotowe wzory” dla figur prostych

Podsumowując…

Jeśli chcemy policzyć moment bezwładności figury złożonej względem danej osi to:

  • dzielimy ją na figury proste, liczymy centralne momenty tych figur z „gotowych wzorów”,
  • obliczamy całkowity moment bezwładności figur prostych względem osi z wykorzystaniem twierdzenia Steinera,
  • sumujemy momenty figur prostych
  • i voilà – mamy obliczony moment bezwładności.

Proste, prawda? Dodam, że czasem się zdarza, że oś względem której liczymy moment bezwładności przechodzi przez środek ciężkości, którejś z figur prostych. Wtedy dla tej figury nie musimy dodawać części wynikającej z twierdzenia Steinera, gdyż odległość między osiami jest równa 0!

Główne osie bezwładności – gdzie jest sztywniej…

Przejdźmy teraz do tematu związanego z sensem fizycznym naszych obliczeń.

Jakąś chwilę temu wspomniałem, że wyniki obliczeń geometrycznego momentu bezwładności nie będą nam do niczego przydatne, jeżeli będziemy je wykonywać dla dowolnych osi. Wracając do tego skąd wzięły się całki przedstawiające momenty bezwładności (z równań związanych ze zginaniem) powinienem dopowiedzieć, że układ względem którego powinny być one liczone jest układem centralnym…

Stąd, jeżeli wyniki obliczeń mają nam się przydać do oceny stanu naprężenia czy przemieszczenia układów jednowymiarowych (belek czy ram), to powinniśmy liczyć właśnie centralne momenty bezwładności. Dotyczy to zarówno układów, których przekroje są przekrojami prostymi, jak również przekrojami złożonymi.

Konkludując – wykonując obliczenia dla przekrojów prostych wystarczy posłużyć się „gotowymi wzorami” (jeśli oś zginania jest równoległa do osi, dla której podany jest wzór! – jeśli nie jest to trzeba chwilę pokombinować o czym za chwile).

Jeżeli wykonujemy obliczenia centralnych momentów bezwładności dla figury złożonej możemy wprowadzić schemat postępowania, który jest właściwie poprawny dla wszystkich zadań:

  1. Podziel przekrój złożony na figury proste (im mniej tym lepiej).
  2. Przyjmij jakiś układ współrzędnych (polecam, aby cała figura była w pierwszej ćwiartce).
  3. Oblicz momenty statyczne figury złożonej względem przyjętego układu.
  4. Oblicz współrzędne środka ciężkości.
  5. Wprowadź do środka ciężkości układ centralny (dla całej figury).
  6. Oblicz centralne momenty bezwładności figur prostych (czyli względem ich własnych środków ciężkości).
  7. Zsumuj momenty figur prostych uwzględniając twierdzenie Steinera (czyli odsunięcie osi centralnych figur prostych do osi centralnej całej figury).
  8. Koniec – otrzymujesz centralne momenty bezwładności figury złożonej.

Oczywiście wystąpią przykłady, gdzie cześć obliczeń może zostać uproszczona (np. przez wystąpienie osi symetrii). Tradycyjnie gdybyś miał/a wątpliwości – powyższy schemat prezentuję na grafice:

Na koniec tego podrozdziału wyjaśnię Ci dlaczego wcześniej wspominałem o momencie dewiacji. Sprawa jest dość prosta, ale będzie wymagała odrobiny wyobraźni.

Wiemy już jak określić centralny układ współrzędnych oraz wartości analizowanych względem niego centralnych momentów bezwładności.

Wiemy również, że względem dowolnego układu możemy określić moment dewiacji (czyli również względem układu centralnego), który jest miarą równomiernego rozłożenia powierzchni przekroju względem danego układu współrzędnych.

To teraz uwaga – skupiamy się! Wyobraź sobie, że zaczynam obracać układ współrzędnych względem jego początku. Wyobraź sobie, że zaczynam obracać układ współrzędnych względem jego początku. W trakcie tego obrotu wartości momentów bezwładności jak i momentu dewiacji względem tego układu muszą się zmieniać!

Dlaczego? Bo przecież jeśli obrócę układ o 90o, to wartości momentów Ixc i  Iyc muszą zamienić się miejscami, a moment dewiacji  Dxc yc musi zmienić znak! Oznacza to, że wartości momentów bezwładności nie zależą tylko od lokalizacji układu współrzędnych, ale również od jego orientacji. Co więcej, jeżeli moment dewiacji przy takim obrocie zmienia znak, to znaczy, że dla jakiegoś kąta nachylenia układu musi być równy 0!

Ten kąt nachylenia układu ma bardzo duże znaczenie w mechanice, gdyż definiuje główne osie bezwładności, czyli takie kierunki osi układu współrzędnych, dla których wartości momentów bezwładności są ekstremalne! Nie znaczy to, że te wartości robią jakieś kaskaderskie sztuczki (sic!), ale jedna z nich jest minimalną, a druga maksymalną wartością momentu bezwładności osiągalną dla centralnych układów współrzędnych! Te ekstremalne wartości momentów nazywamy głównymi momentami bezwładności.

Spójrzcie na animację:

Podsumowując – dla każdego przekroju możemy znaleźć taki centralny układ współrzędnych, dla którego wartości momentów bezładności będą ekstremalne. Dla takiego układu moment dewiacji jest równy 0, czyli pole jest idealnie równomiernie rozłożone pomiędzy „dodatnimi” i „ujemnymi” ćwiartkami tego układu.

Tutaj drobna uwaga: w bardzo wielu przypadkach możemy od razu wyznaczyć główne osie bezwładności (a przynajmniej jedną z nich) – chodzi o wszystkie przekroje symetryczne. Jeżeli przekrój posiada oś symetrii, to jest ona z miejsca osią główną, gdyż moment dewiacyjny względem układu powiązanego z tą osią zawsze będzie równy 0.

Dlaczego główne momenty bezwładności są na tyle ważne, że zajęły taki obszerny akapit w tym artykule?

Dlatego, że w przypadku analizy zginania o zginaniu prostym mówimy właśnie wtedy, gdy następuje ono względem jednej z głównych centralnych osi bezwładności. Dla takiego zginania znacznie upraszczają się wzory na naprężenia i przemieszczenia (o tym w innym artykule). Każda inna postać zginania uznawana jest za zginanie ukośne i wtedy należy albo rozkładać momenty gnące na kierunki głównych centralnych osi bezwładności (wtedy dalej wzory są przyjemne, ale jest więcej roboty), albo należy korzystać z dość skomplikowanych wzorów uwzględniających i momenty bezwładności, i moment dewiacji przekroju.

OK – teraz potrafisz policzyć momenty bezwładności i moment dewiacji dla figur prostych, określić centralny moment bezwładności figury złożonej oraz wiesz czym są główne momenty i osie bezwładności przekroju. W kolejnej części artykułu zajmijmy się tym jak analitycznie wyznaczyć nachylenie osi głównych oraz wartości głównych momentów bezwładności.

INNE WPISY W TEJ KATEGORII