Analiza przekrojów poprzecznych (3) – koło Mohra

„Przekroje kołem się toczą…”

Oto trzecia część artykułu o analizie parametrów przekrojów poprzecznych. Będzie dotyczyć analitycznych obliczeń głównych centralnych momentów bezwładności oraz graficznej interpretacji momentów bezwładności nazywanej kołem Mohra.

Przedstawię tematy:

• Obrót układu współrzędnych
• Koło Mohra i główne momenty bezwładności

Obrót układu współrzędnych – a momenty się zmieniają…

W poprzedniej części artykułu omówiłem podstawy teoretyczne i zastosowania głównych centralnych momentów bezwładności w obliczeniach naprężeń i przemieszczeń. W tej części omówimy w jaki sposób można je obliczyć a nawet – zaprezentować graficznie.

Zaczniemy od trzech wzorów pozwalających określić momenty bezwładności i dewiacji dla dowolnego obrotu układu współrzędnych – będzie dość nieprzyjemnie…

I_ξ={I_x+I_y \over2} +{I_x-I_y\over2}  cos⁡2φ-D_{xy} sin⁡2φ

I_η={I_x+I_y \over2} -{I_x-I_y\over2}  cos⁡2φ+D_{xy}  sin⁡2φ

D_{ξη}={I_x-I_y\over2}  sin⁡2φ+D_{xy}  cos⁡2φ

Uwaga! Powyższe wzory są poprawne tylko dla takiej reprezentacji układu xy , kąta φ  oraz obróconego układu ξη . W literaturze, czy na zajęciach wzory te mogą różnić się znakami, ze względu np. na to że oś pionowa lub pozioma mogą mieć przeciwne zwroty!!!

Wykorzystując przedstawione wzory moglibyśmy nawet obliczyć momenty główne, wiecie na zasadzie ekstremum funkcji… Obliczyć pochodne po kącie φ… przyrównać do 0 i obliczony kąt podstawić do wzoru… Byłaby to masakra matematyczna więc nie polecam. Zamiast tego można wyznaczyć wzory z graficznej reprezentacji nazywanej kołem Mohra.

Koło Mohra i główne momenty bezwładności – nie ma jak fajne obrazki…

Koło Mohra powiedzmy jest reprezentacją aktualnej orientacji układu współrzędnych w układzie momentów bezwładności. Tak, brzmi to dość skomplikowanie, ale gwarantuję, że konstrukcja koła Mohra jest prosta jak budowa cepa.

Procedura jest następująca i przedstawiona na poniższej grafice:

1. Oblicz wartości momentów bezwładności i momentu dewiacji dla aktualnej lokalizacji i orientacji układu współrzędnych.
2. Narysuj wstępny układ współrzędnych, który na osi poziomej będzie przedstawiał momenty bezwładności, a na osi pionowej moment dewiacji. Zwróć przy tym uwagę na obliczone wartości momentów bezwładności i momentu dewiacji – układ musi być tak narysowany aby w pewnej skali wartości te się „zmieściły”, a oś pionowa pozwalała na zapisanie dodatnich i ujemnych wartości. Ważne też jest aby podziałka pionowa i pozioma była taka sama – inaczej wyjdzie nam elipsa Mohra zamiast koła…
3. Oznacz na osi poziomej obliczone momenty bezwładności i wyznacz środek koła Mohra, który znajduję się pomiędzy nimi c = (I_x + I_y)/2.
4. Nad punktami (lub pod – nie ma znaczenia) odpowiadającymi  I_x i I_y oznacz współrzędną odpowiadającą wartości momentu dewiacji.
5. Utwórz koło o środku w punkcie c (patrz pkt 3) i promieniu wynikającemu z punktów zaznaczonych w pkt 4.
6. Koniec – narysowałeś koło Mohra – możesz przejść do analizy wyników.

Korzystając z koła Mohra możemy szybko określić wartości głównych momentów bezwładności – wystarczy, że odczytamy współrzędne miejsca przecięcia koła Mohra z osią poziomą. Jest to równoznaczne z taką orientacją układu współrzędnych, dla której moment dewiacji jest równy 0 – czyli wszystko się zgadza. Te same wartości można obliczyć analitycznie korzystając z rysunku i wyznaczając środek koła (lewa cześć wzoru) i jego promień, z twierdzenia Pitagorasa (prawa część wzoru). Pierwszy moment główny (maksymalny) to suma środka i promienia, a drugi moment główny (minimalny) to różnica środka i promienia:

I_1={I_x+I_y \over2}+\sqrt{({I_x-I_y \over2})^2+D_{xy}^2}

I_2={I_x+I_y \over2}+\sqrt{({I_x-I_y \over2})^2+D_{xy}^2}

Z koła Mohra można również odczytać kąt nachylenia głównych osi bezładności – jest to połowa kąta pomiędzy orientacją aktualnego układu współrzędnych (przestawione pogrubioną linią na grafice), a osią poziomą:

tg⁡2φ={-2D_{xy} \over{I_x-I_y }}

Jeśli zastanawiasz się dlaczego to połowa kąta, to jest to związane z tym, że obrót o  180^o w układzie koła Mohra sprowadza nas do takich samych wartości momentów bezwładności (tylko zamienionych względem siebie), co jest równoznaczne z obrotem układu współrzędnych związanego z przekrojem o 90^o .

Ostatnia dygresja jest związania z tym, że nawet jeśli wykonamy obrót układu związanego z przekrojem o wyznaczony kąt φ to musimy wiedzieć, która oś jest związana z I₁, a która z I₂. Da się to łatwo wyznaczyć korzystając z dwóch zasad:

• Jeżeli I_x > l_y to oś powstała po obrocie osi x o kąt φ odpowiada I₁ , jeżeli l_x < l_y to odpowiada I₂ .
• Jeżeli I_x = l_y, a D_xy < 0 to oś odpowiadająca I₁  jest obrócona o 45^o  względem osi x, a jeżeli D_xy > 0 , to jest obrócona o -45^o .

Podsumowując: na podstawie koła Mohra możemy obliczyć główne momenty bezwładności, określić orientacje głównych centralnych osi bezwładności, a także obliczyć momenty bezwładności i dewiacji dla dowolnej orientacji układu współrzędnych.

W aplikacji EquiBeam znajdziesz nieograniczone możliwości związane z obliczeniami parametrów przekrojów – warto wykorzystać wiedzę w praktyce! Na poniższym filmie znajdziesz tutorial opisujący wprowadzanie danych w EquiBeam związanych o obliczeniami własności przekrojów poprzecznych.

Tu będzie film ????

Super, że dobrnęłaś/ąłeś do końca tego artykułu! Jestem przekonany, że kwestie obliczeń podstawowych parametrów przekrojów poprzecznych są już zrozumiałe i wykonywanie zadań nie będzie stanowić dla Ciebie problemów.