Obliczenia przemieszczeń – metody energetyczne (2)

„Łukasz ma niezłą energię…”

Zapraszam do lektury drugiej części artykułu o obliczeniach przemieszczeń w belkach. W ramach tej części omówię podejście energetyczne, wykorzystujące w bardzo sympatyczny sposób informacje o siłach wewnętrznych. Przedstawię tematy:

• Zmiany energii mechanicznej
• Podejście energetyczne – równanie Maxwella – Mohra

Zmiany energii mechanicznej – raz wysoko, raz szybko…

Jeżeli spróbujemy sobie przypomnieć podstawy fizyki, związane ze zmianami energii to możliwe, że natrafimy na pojęcia: pracy, energii potencjalnej czy energii kinetycznej.

Zwykle te pojęcia kojarzą nam się np. z rzucaniem jakiejś piłki (np. kauczukowej) z pewnej wysokości. W takim opisie mówiło się, że: „Skoro piłka znajduje się na jakiejś wysokości to posiada energię potencjalną (znajduje się w polu grawitacyjnym). Jeżeli piłkę puścimy to jej energia potencjalna zacznie maleć, ale rosnąć będzie jej energia kinetyczna związana z prędkością piłki (zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej). Tym samym tuż przy podłodze (naszym punkcie odniesienia) cała energia potencjalna zmienia się w energię kinetyczną i piłka osiąga maksymalną prędkość.”

W tej chwili zwykle kończą się rozważania na poziomie liceum czy technikum i mało kto zastanawia się co dzieje się w chwili zetknięcia omawianej piłeczki z ziemią. Wszyscy zdajemy sobie sprawę, że jeśli założymy, że zderzenie nie rozproszyło energii (co nie jest zbyt dokładnym założeniem, bo chociażby zwykle słyszymy uderzenie), to za chwilę piłeczka poleci w górę z tą samą prędkością początkową z jaką walnęła w podłogę i przy dobrych wiatrach nawet powróci (prawie) na tą samą wysokość.

Ale jak to się dzieje, że jej prędkość nagle zmienia kierunek? Jaka magia sprawia, że w ułamku sekundy ciało zmienia zwrot prędkości, co zakrawa o naruszenie drugiej zasady dynamiki Newton’a?

Ano… żadna… Nic niezwykłego się tutaj nie dzieje – po prostu dzieje się szybko… A co się dzieje? – spieszę z tłumaczeniem. Dochodzi tutaj do zmiany energii kinetycznej w energię potencjalną i ponownie w energię kinetyczną. Przy czym energia potencjalna w tej przemianie nie jest związana z grawitacją, a ze sprężystością materiału.

Materiał w czasie uderzenia, ze względu na działanie sił nacisku i bezwładności (tak – druga zasada…), ściska się zmieniając swój kształt – zaczyna magazynować w ten sposób energię – tak, całą energię kinetyczną (w pewnej chili czasu ściśnięta piłeczka właściwie się nie porusza – no może trochę drga…). Energia ta wcale nie jest mu do szczęścia potrzebna – stąd szybko ją oddaje – działając siłą na podłoże i przyspieszając w górę – zwiększając energię kinetyczną.

Podsumowując powyższą opowieść, możemy powiedzieć, że

różnego rodzaju ciała odkształcając się magazynują energię, którą nazywamy energią potencjalną sprężystości.

Podejście energetyczne – zobacz jaka jestem sprężysta…

Dotyczy to również belek, ram czy kratownic, przy czym należy zauważyć, że dla układów statycznych energia ta jest wynikiem oddziaływania na układ obciążeń. Tutaj przypomnę – jeżeli na jakieś ciało działa siła, która powoduje przemieszczenie się tego ciała, to siła ta wykonuje pracę i podobnie jak w przypowieści o piłce – żeby wszechświat był w równowadze (pozdrowienia Thanos 😊)

praca sił zewnętrznych na przemieszczeniach układu statycznego jest równa energii sprężystej U wygenerowanej w konstrukcji.

Dla analizowanego wcześniej przykładu pręta rozciąganego możemy więc szybko wyznaczyć wzór na energię sprężystą magazynowaną przy działaniu siły normalnej N (korzystamy z twierdzenia Clapeyron’a):

dU= {1\over2} N⋅du={1\over2} N⋅{N\over{EA}} dx={1\over2}  {N^2\over{EA}} dx→U={1\over2} ∫_L{N^2\over{EA}} dx

Siły normalne występujące w powyższym wzorze mogą być stałe lub mogą być funkcjami długości pręta, dodatkowo zależą one od wszystkich obciążeń działających na analizowany pręt. Jeżeli znamy już postać energii sprężystej układu, to możemy obliczyć przemieszczenie pręta w dowolnym jego punkcie korzystając z twierdzenia Castigliano, które mówi, że

przemieszczenie w danym punkcie jest równe pochodnej cząstkowej energii sprężystej po sile (lub momencie w przypadku kątów obrotu) przyłożonej w tym punkcie:

u={∂U\over∂F}

Twierdzenie to można wyprowadzić na kilka sposób (szaleńców zachęcam do lektury 😉), ale ciekawsza będzie teraz sztuczka konieczna do otrzymania wzoru końcowego na przemieszczenie określone metodą energetyczną…

Żeby policzyć przemieszczenie w myśl powyższego wzoru, musimy w układzie wprowadzić w danym punkcie taką wirtualną jednostkową siłę F – w końcu musimy mieć po czym policzyć tą pochodną…

Ta wirtualna siła powoduje zmianę w siłach normalnych, więc (również wirtualnie) wpływa na energię wewnętrzną:

U={1\over2} ∫_L{(N+ \overline1⋅N_F)^2\over{EA}} dx

Teraz wystarczy wykonać pochodną cząstkową po F zgodnie z twierdzeniem Castigliano oraz przypomnieć sobie, że w rzeczywistości siła F nie istnieje – jest równa 0…

u={∂U\over∂F}={1\over2} ∫_L 2⋅{N+ \overline1⋅N_F\over{EA}}⋅N_Fdx →u=  ∫_L {N+ \overline0⋅N_F\over{EA}} N_Fdx

u=∫_L{N⋅N_F\over{EA}}⋅dx

Powyższy wzór nazywany jest równaniem Maxwella – Mohra i prowadzi on do otrzymania przemieszczenia dowolnego punktu układu, przy założeniu, że znamy rozkład sił normalnych wywołanych obciążeniami rzeczywistymi oraz dodatkowo znamy rozkład sił normalnych wywołanych jednostkową siłą przyłożoną w miejscu, którym poszukujemy przemieszczenia. Za pomocą przekształceń powyższych wzorów można również analizować układy statycznie niewyznaczalne (np. metodą sił).

Co można powiedzieć na zakończenie tematu związanego z metodami energetycznymi?

Przede wszystkim, że jest wiele sposobów na wyprowadzenie równań energetycznych, stąd jest wiele różnych metod, które sprowadzają się do otrzymania tego samego przemieszczenia.

Metody te wpływające na krok postępowania scharakteryzuję w kolejnych artykułach dotyczących analizy przemieszczeń. W kolejnej części artykułu zajmijmy się opisaniem tego, jak podejście analityczne i energetyczne zmieniają się dla różnych przypadków wytrzymałościowych – zapraszam do trzeciej części artykułu.