Obliczenia przemieszczeń – różne przypadki wytrzymałościowe (3)

„Najpierw się to trochę rozciągnie, potem poskręca i będzie jak nowe”

Zapraszam do lektury trzeciej części artykułu o obliczeniach przemieszczeń w belkach. W ramach tej części przedstawię różne przypadki wytrzymałościowe. Omówię, co powinnaś/eś wiedzieć w temacie obliczania przemieszczeń, ugięć i kątów ugięcia (obrotu) oraz kątów skrętu.

Artykuł będzie trochę teoretyczny – ale gwarantuję, że pozwoli on na rozjaśnienie pewnych kwestii przed przystąpieniem do zadań. Przedstawię tematy:

• Przemieszczenia w prętach rozciąganych
• Kąt skręcenia w prętach skręcanych swobodnie
• Przemieszczenia przy zginaniu prostym

Przemieszczenia w prętach rozciąganych – te siły są jakieś nieNormalne…

Tak właściwie, to jeśli przeczytaliście poprzednią część artykułu to niewiele więcej mogę tu napisać. Równania pozwalające obliczyć przemieszczenie (wydłużenie/skrócenie) prętów zostały bardzo dokładnie wyprowadzone. Omówię je tylko w celu przypomnienia.

Obliczenia przemieszczeń wykonujemy najczęściej na bazie dwóch podejść:

• korzystając z równań różniczkowych wyprowadzonych z podstawowych związków fizycznych czy mechanicznych:

u'(x) = ε_x → u' (x)={N(x)\over E(x)⋅A(x)}→u(x)= ∫{N(x)\over E(x)⋅A(x)} dx

• korzystając z równań opisujących energię sprężystą układu:

u=∫_L{N⋅N_F\over{EA}}dx

gdzie: N – siły normalne, A – pole przekroju poprzecznego,  E – moduł Young’a materiału,  N_F– siły normalne wywołane siłą jednostkową w miejscu liczonego przemieszczenia.

W pierwszym przypadku wynikiem jest funkcja przemieszczeń, która pozwala na obliczenie przemieszczeń w dowolnym punkcie pręta. Wykorzystując wzór należy jednak uważać na to, czy wielkości występujące we wzorze są wartościami stałymi (to znacznie upraszcza robotę) czy są funkcjami, które faktycznie trzeba matematycznie scałkować.

Jeśli korzystamy ze wzorów ogólnych, to pamiętajmy o wstawieniu stałych całkowania i obliczenia ich z warunków brzegowych (tak to liczy EquiBeam – w metodzie ogólnej).

Jeśli analizujemy układ, gdzie parametry są stałe – możemy bezpośrednio obliczyć całkowite wydłużenie ze wzoru:

ΔL={NL\over EA}

Jeżeli analizujemy układ gdzie wielkości się zmieniają to możemy podzielić go na mniejsze przedziały. Wtedy całkowite wydłużenie obliczamy jako sumę wydłużeń z każdego przedziału.

W drugim przypadku wynikiem obliczeń jest przemieszczenie tylko w tym punkcie, w którym wprowadzamy obciążenie fikcyjne (wirtualne). Dodatkowo, korzystając z metod energetycznych, konieczne jest wykonanie obliczeń sił normalnych – dla obciążenia rzeczywistego oraz dla obciążenia fikcyjnego (chyba że korzystamy z metody Castigliano, gdzie jesteśmy w stanie załatwić to za jednym zamachem).

Podobnie jak w pierwszej metodzie – jeśli układ składa się z wielu przedziałów, gdzie funkcje sił wewnętrznych się zmieniają, to całkę rozbijamy na sumę całek po wszystkich przedziałach. Powstałe całki możemy rozwiązać albo analitycznie (tu się nie przejmujcie – w zdecydowanej większości przypadków są to proste całki wielomianowe), albo metodami graficznymi, które dla niektórych są prostsze, a innym zaginają system (o tym pewnie też napiszę kiedyś artykuł… 😊).

Jak widzicie obliczenia przemieszczeń w przypadku ściskania/rozciągania osiowego nie są zbyt skomplikowane. Gdy sam wykonasz obliczenia przemieszczeń w aplikacji EquiBeam, to z pewnością rozwieje wszelkie wątpliwości.

Przejdźmy do drugiego przypadku wytrzymałościowego – skręcania swobodnego.

Kąt skręcenia w prętach skręcanych swobodnie – niezłe wałki…

Skręcaniem swobodnym nazywamy takie skręcanie, w którym może dochodzić do tzw. deplanacji (wypaczenia – ang. warping) przekroju poprzecznego.

Oznacza to, że punkty przekroju w trakcie skręcania mogą przemieszczać się w kierunku równoległym do osi pręta. Takie zachowanie jest naturalne dla prętów skręcanych, których przekrój poprzeczny nie jest niczym „zablokowany”, a teoria która opisuje to zjawisko została opisana przez Saint Venant’a.

Ciekawostka: deplanacja nie występuje w przekrojach kołowych (lub w rurach okrągłych), dzięki czemu właśnie dla tych przekrojów obliczenia skręcania są bardzo „przyjemne”.

Jeżeli ktoś chciałby się podjąć analizy skręcenia nieswobodnego prętów, to będzie musiał walczyć z bimomentem, momentem giętno-skrętnym oraz dziwnymi dodatkowymi naprężeniami występującymi w pręcie (ogólnie nie polecam…).

Poza tym, że samo skręcanie jest totalnie różnym przypadkiem od rozciągania, właściwie wszystkie wzory pozwalające na obliczenia kąta skręcenia są dokładnie analogiczne – znowu mamy dwie podstawowe metody (już nie będę ich szczegółowo opisywać), prowadzące do dwóch postaci wzorów:

• równania różniczkowego:

θ' (x)={M_s(x)\over G(x)⋅J(x)}→θ(x)= ∫{M_s(x)\over G(x)⋅J(x)} dx

• równania na bazie energii sprężystej:

θ=∫_L{M_s⋅M_{sK}\over{GJ}}dx

gdzie:  M_s– momenty skręcające, J – sztywność przekroju na skręcanie,  G – moduł Kirchhoff’a materiału, M_sK – momenty skręcające wywołane momentem jednostkowym w miejscu liczonego kąta skręcenia.

Jak widzicie, wzory do analizy skręcania są właściwie takie same. Co się zmienia?

Siły normalne  zastępujemy momentami skręcającymi. Moduł Younga zastępujemy modułem Kirchhoff’a  (moduł sprężystości poprzecznej). A na koniec, pole przekroju poprzecznego zastępujemy sztywnością przekroju na skręcanie  – i w sumie w tym miejscu jest chyba najwięcej komplikacji…

Tak jak pole przekroju poprzecznego liczymy już w podstawówce, tak współczynnik sztywności na skręcanie możemy łatwo policzyć tylko dla przekrojów kołowych (i rur okrągłych), bo są one równe ich biegunowym momentom bezwładności:

• dla pręta kołowego:

J=I_O={πD^4\over32}

• dla rury okrągłej:

J=I_O={π(D^4-d^4)\over32}

Dla wszelkich innych przekrojów obliczenia albo są „bardziej” skomplikowane, albo wręcz niemożliwe do wykonania metodami analitycznymi.

Typowymi przekrojami, dla których wykonuje się takie obliczenia są przekroje prostokątne (są na to tablice), przekroje cienkościenne otwarte (jak teowniki) lub zamknięte (jak rury kwadratowe). Dla każdego z tych typów przekroju współczynnik sztywności liczy się inaczej i również inaczej liczy się naprężenia (o tym też napiszę kiedyś artykuł 😊…).

W celach inżynierskich najczęściej takie obliczenia wykonuje się za pomocą metod numerycznych np. MES. Ważna uwaga: w EquiBeam dla przekrojów predefiniowanych możesz liczyć te wartości i analitycznie, i numerycznie!!!

Wracając do obliczeń samego kąta skręcenia: metodyka jest taka sama, jak dla układów rozciąganych, więc nie będę się rozpisywał…

Z ważnych informacji – można podkreślić, że (znowu…) jeśli parametry są stałe, to można szybko obliczyć kąt skręcenia na danym odcinku pręta ze wzoru:

Δθ={M_sL \over GJ}

To chyba tyle, jeśli chodzi o pręty skręcane. Przykłady można przećwiczyć w EquiBeam. Teraz zajmijmy się odrobinę innym przypadkiem wytrzymałościowym – zginaniem.

Przemieszczenia przy zginaniu prostym – z „krzywym” jest gorzej…

Na wstępie należy powiedzieć, że tak jak w poprzednich przypadkach wytrzymałościowych, metody obliczeń przy zginaniu podzielimy na te same 2 podstawowe grupy.

W grupie metod energetycznych nic się właściwie nie zmieni. Postacie wzorów są prawie takie same, jedynie tradycyjnie zmieni się zestaw sił wewnętrznych, parametrów przekrojów czy własności materiałowych. W ogólnym przypadku będą więc one wyglądać w ten sposób:

y=∫_L{M_g ⋅M_{gF} \over{EI}} dx  + ∫_L{T ⋅T_F \over{kGA}} dx,

φ=∫_L{M_g ⋅M_{gK} \over{EI}} dx  + ∫_L{T ⋅T_K \over{kGA}} dx

gdzie: M_g – momenty gnące, T – siły tnące, I – centralny moment bezwładności przekroju, k – modyfikator sztywności przekroju dla ścinania. Pozostałe dane były już wyjaśniane wcześniej.

Jak widzicie, jeśli chcemy obliczyć ugięcie, to we wzorach analizujemy wpływ siły skupionej (jednostkowej) przyłożonej w punkcie analizy przemieszczenia; jeżeli chcemy obliczyć kąt ugięcia, to analizujemy wpływ momentu skupionego (jednostkowego) przyłożonego w tym punkcie.

Dodatkowo: często w analizie (szczególnie długich i smukłych belek) nie bierze się pod uwagę całek związanych z siłami tnącymi – mają one mały wpływ na ugięcie i sztywność. Ale, żeby nie było: przy krótkich belkach ścinanie może mieć duży wpływ na wyniki obliczeń – reakcje, siły wewnętrzne itp. Na ten moment nie będę się rozwodził na temat szczegółów analizy zginania za pomocą metod energetycznych – te przedstawię w kolejnej części artykułu, gdzie dokładnie omówię ich modyfikacje występujące w każdej metodzie.

Znacznie bardziej ciekawe będzie przedstawienie teraz wyprowadzenia równania różniczkowego osi ugiętej – szczególnie, że tutaj naukowcy naprawdę nieźle się popisali 😀

Początek tego wyprowadzenia można rozpocząć od założeń wynikających (znowu) z równań konstytutywnych, warunków geometrycznych i równań równowagi. Ominę tą część, za dużo tam pochodnych i całek…

Po wykonaniu tych operacji otrzymujemy bardzo przyjemne równanie:

{M_g \over EJ}={1 \over ρ}

gdzie:  ρ jest promieniem krzywizny ugiętej belki w danym punkcie.

Teraz zaczyna się najlepsza zabawa, bo matematycy stworzyli świetny wzór na promień krzywizny zawierający sporo fajnych pochodnych, który wygląda mniej więcej tak:

ρ= {\big(1+y^{'2} (x)\big)^{3/2} \over |y^{''} (x)|}

Jeśli podstawimy tego potwora do równania na ugięcie, otrzymamy zależność:

{M_g \over EJ}={|y^{''} (x)| \over \big(1+y^{'2} (x)\big)^{3/2}}

Teraz następuje moment kulminacyjny – tego, co powyżej nie da się łatwo rozwiązać, więc podejrzewam, że fizycy musieli odbyć coś na kształt poniższej rozmowy:

Dzięki tej rozmowie zaproponowano równanie różniczkowe osi ugiętej w formie:

y'' (x)= \stackrel{+}{-}{M_g(x)\over EJ}→y (x) =  \stackrel{+}{-}∫\bigg(∫{M_g(x)\over EJ} dx\bigg)dx

gdzie plus i minus właściwie dotyczą założonego zwrotu osi pionowej.

Teraz jeżeli znamy funkcje momentu gnącego, możemy spróbować dwukrotnie scałkować to równanie i otrzymujemy funkcję ugięcia wraz z dwoma stałymi całkowania (można je policzyć z warunków podparcia belki – czyli warunków brzegowych).

Ostatnia ciekawostka to kwestia określenia kąta ugięcia. O jego wartości możemy wnioskować z powyższego rysunku. Wynika z niego, że tangens kąta ugięcia jest równy pochodnej funkcji ugięcia.

No, ale przecież te kąty są małe, co nie? To znowu zróbmy małą machlojkę:

\tgφ(x) = y'(x) → \tg⁡φ(x) ≅ φ(x) → φ(x) = y'(x)

Okazuje się, że jak mamy już ugięcie to wystarczy zrobić pochodną i mamy kąty ugięcia…

Hmm… Czy my chwilę wcześniej, aby obliczyć równanie różniczkowe osi ugiętej nie zakładaliśmy, że muszą być równe 0, aby się wszystko zgadzało? Nie ważne… Kto by na to zwracał uwagę, skoro wychodzi nieźle z eksperymentem 😊.

Tak więc: ważne info! Powyższe równania opisują układy cechujące się małymi przemieszczeniami. Są one również uproszczone o brak przemieszczeń wywołanych siłami tnącymi – tzw. belki Euler’a-Bernoulli’ego. Metody obliczeń z wykorzystaniem otrzymanych wzorów (np. metoda ogólna – równania różniczkowego osi ugiętej, czy Clebscha) zostaną przedstawione w kolejnych artykułach 😊.

Podsumowując drugą część artykułu: dla różnych przypadków wytrzymałościowych wykorzystujemy różne dane w postaci własności materiałowych, parametrów przekroju poprzecznego czy sił wewnętrznych, które wpływają na to, jak wykonujemy analizy przemieszczeń. Same obliczenia tak naprawdę wykonuje się „dość” podobnie (szczególnie w metodach energetycznych), a główną różnicą, czy właściwie problemem, jest odpowiednie zapisanie równań lub narysowanie wykresów odpowiednich sił wewnętrznych.

W kolejnych artykułach skupię się na metodach rozwiązywania przemieszczeń w belkach zginanych, które zwykle charakteryzują się najbardziej skomplikowanym schematem postępowania (ze względu na analizę momentu gnącego), co nie znaczy, że części z nich nie można wykorzystać do obliczeń układów rozciąganych czy skręcanych.