Obliczenia przemieszczeń – wstęp do analizy (1)

„Norbert, ta ławka się pod Tobą ugina…”

Czwarty artykuł Bloga MechaDevs będzie dotyczył zagadnienia obliczeń przemieszczeń w belkach. Obliczenia te spędzają sen z oczu wielu studentów, przede wszystkim ze względu na dużą liczbę obliczeń matematycznych prowadzących do rozwiązania takich zadań, ale również z powodu względnie skomplikowanego schematu obliczeń – właściwie niezależnie od wybranej metody obliczeń.

Zanim jednak przejdziemy do obliczeń przemieszczeń – zdecydowanie sugeruję zapoznać się z artykułami dotyczącymi obliczeń sił wewnętrznych, gdyż bez znajomości ich obliczania (lub zapisywania w formie wzorów) niestety nie ma możliwości liczenia przemieszczeń – a przynajmniej skończyłoby się to dużą ilością zmarnowanego czasu…

W pierwszej z trzech części artykułu omówimy informacje wstępne, czyli:

• Po co liczymy przemieszczenia w belkach
• Jak możemy liczyć przemieszczenia
• Podejście analityczne – równania różniczkowe

Po co liczymy przemieszczenia – sztywność to podstawa

Dwoma podstawowymi parametrami, które bierze się pod uwagę w przypadku projektowania różnego rodzaju konstrukcji są jej naprężenia oraz przemieszczenia. Naprężenia występujące w materiale mają bezpośredni wpływ na jego wytrzymałość i możliwość występowania uszkodzeń prowadzących do zniszczenia takiej konstrukcji. Przemieszczenia natomiast, wynikające ze sztywności obiektu oraz obciążeń, które na niego działają i mają najczęściej znaczenie bardziej funkcjonalne.

Najlepszymi przykładami w temacie wymagań związanych ze sztywnością są chociażby obrabiarki konwencjonalne czy CNC lub drukarki 3D. W przypadku takich urządzeń większa sztywność pozwala na minimalizację przemieszczeń wynikających z sił działających przy obróbce detalu (lub nawet samego ruchu głowicy), co znacznie przekłada się na możliwą precyzję wykonania danego detalu, a tym samym na jakość i klasę obrabiarki.

Przykłady związane z koniecznością zachowania odpowiedniej sztywności (minimalizacją przemieszczeń) możemy znaleźć również w budownictwie – przecież nikt nie będzie umyślnie projektował mostu, który pod wpływem przejeżdżającej ciężarówki ugnie się o np. metr… Spowodowałoby to, że ciężarówka znowu musiałaby wjeżdżać „pod górkę” aby z tego mostu „zjechać” – totalnie bez sensu…

Jako ciekawostkę mogę również powiedzieć, że sztywność konstrukcji znacznie wpływa na jej częstości drgań własnych, które są kluczowe przy projektowaniu tak mostów, jak również np. drapaczy chmur. Chyba najciekawszym przykładem nieuwzględnienia analizy modalnej (określania częstości drgań oraz możliwości ich wzbudzania) – w projektowaniu jest to, co stało się z mostem Tacoma Bridge – polecam poszukać filmów na YT. Jak byście nie byli pewni – on nie był wykonany z gumy do żucia????.

Kolejnym ważnym punktem do dyskusji w temacie zapotrzebowania na wykorzystanie analizy przemieszczeń są zadania statycznie niewyznaczalne. Jeśli przypomnimy sobie artykuły z podstaw statyki, to okaże się, że mając do dyspozycji tylko równania równowagi mogliśmy rozwiązywać zadania tylko z taką liczbą niewiadomych reakcji, która dokładnie odpowiadała liczbie możliwych do zapisania równań równowagi. Takie układy nazywaliśmy układami statycznie wyznaczalnymi. Pomijając przypadek, że podpór jest za mało (wtedy układ jest geometrycznie zmienny), zostaje kwestia obliczeń układów gdzie podpór jest więcej niż potrzeba…

Analiza takich zadań, czyli np. obliczenie rozkładu sił wewnętrznych jest niestety niemożliwe bazując na samych równaniach równowagi. Z pomocą przychodzą nam jednak odpowiednie równania wykorzystujące przemieszczenia, pozwalają nam one bowiem na zapisanie tzw. warunków brzegowych, które można traktować jako dodatkowe równania uzupełniające nasz układ równań.

Wykorzystując sztywność układu możemy liczyć reakcje w zadaniach statycznie niewyznaczalnych, a dzięki temu również określać wytrzymałość takich układów.

Podsumowując: dla wielu konstrukcji istotne jest nie tylko aby wytrzymała ona obciążenie, ale również by przy tym obciążeniu nie osiągała zbyt dużych przemieszczeń (albo wręcz odwrotnie – niektóre komponenty projektuje się tak aby miały konkretną podatność – np. klamry zatrzaskowe ????).

Dodatkowo możliwość określenia przemieszczeń umożliwia rozwiązywanie zadań z układami „przestawionymi” – statycznie niewyznaczalnymi.

Teraz przejdźmy do tego jak wykorzystując wiedzę z mechaniki i wytrzymałości materiałów możemy liczyć przemieszczenia.

Jak możemy liczyć przemieszczenia – jest nas dwóch… nam nie podołacie…

W zasadzie do obliczeń przemieszczeń wykorzystuje się dwa podstawowe podejścia:

• podejście wykorzystujące równania różniczkowe powstałe wskutek analizy warunków geometrycznych, równań konstytutywnych oraz sił wewnętrznych (tak padło tu wiele nieprzyjemnych słów – ale zaraz je wyjaśnimy…),
• podejście wykorzystujące zależności energetyczne – a dokładniej energię potencjalną sprężystości – na spokojnie… to też wyjaśnię.

Każde z nich jest dostępne w aplikacji EquiBeam – i dalej są rozwijane metody oparte na tych podejściach ????. Teraz pozwolę sobie wytłumaczyć się z powyższego chaosu informacyjnego… Zacznijmy od pierwszego podejścia.

Podejście analityczne, równania różniczkowe – uuu całeczki…

Najłatwiej będzie to wytłumaczyć na przykładzie najprostszego w analizie przypadku wytrzymałościowego czyli ściskania/rozciągania osiowego pręta.

Na pręt taki działają tylko siły osiowe (równoległe do osi pręta), nazywane siłami normalnymi N. W analizie zakładamy, że siły te równomiernie rozkładają się na powierzchni przekroju A. Naprężenie normalne σ_x powstające w takim przekroju jest więc równe przyłożonej sile podzielonej przez pole przekroju poprzecznego:

σ_x={N \over A}

Powiązaliśmy więc siły wewnętrzne w pręcie z parametrami przekroju i otrzymaliśmy naprężenia. Teraz wprowadzimy równania konstytutywne, które są niczym innym niż modelem opisującym relację pomiędzy naprężeniami σ_x i odkształceniami ε_x – czyli w tym przypadku wydłużeniami względnymi (przypominam że odkształcenie jest bezwymiarowe – nie ma jednostki). Dla układów sprężystych takim modelem jest prawo Hooke’a i dla czystego ściskania/rozciągania można je zapisać w sympatycznej formie:

ε_x={σ_x\over E}→ε_x={N\over EA}

gdzie: E – moduł Young’a materiału (moduł sprężystości wzdłużnej).

Teraz zostaje ostatnie sformułowanie użyte we wstępnym opisie – warunki geometryczne – czyli zależność między odkształceniem a przemieszczeniem. W analizowanym przypadku wytrzymałościowym są one również bardzo proste:

u'(x) = ε_x → u' (x)={N(x)\over E(x)⋅A(x)}→u(x)= ∫{N(x)\over E(x)⋅A(x)} dx

Mówiąc językiem matematyki – pierwsza pochodna przemieszczenia jest równa odkształceniu. Czyli mamy omawiane równanie różniczkowe. I tutaj ważna uwaga – w rzeczywistości często odkształcenia nie są stałe – mogą być funkcją długości pręta (co jest zależne od zmiennych sił normalnych, zmiennego przekroju, czy materiału). Ale jeśli na jakimś odcinku o długości L tego pręta wartości są stałe to obliczenie wydłużenia/skrócenia tego odcinka można wykonać jedną śliczną całką.

ΔL=∫_0^Lε_x  dx=ε_x ∫_0^Ldx={N \over EA}   x|_0^L={N\over EA}

Końcowo otrzymujemy wzór na wydłużenie pręta przy ściskaniu czy rozciąganiu osiowym. Takie wydłużenie służy nam do określania przemieszczeń poszczególnych punktów pręta. Tutaj trochę Was pocieszę – w większości zadań nie ma konieczności rozpisywania tego od początku (można powiedzieć bezpośrednio z teorii) – zwykle bazujemy na wyprowadzonym już wzorze końcowym albo na samej całce.

Podsumowując pierwsze podejście – aby obliczyć przemieszczenie musimy analitycznie określić zależności pomiędzy siłami wewnętrznymi, naprężeniami, odkształceniami i przemieszczeniami. Dla każdego z przypadków wytrzymałościowych relacje te będą inne (choć czasami podobne) ale zawsze prowadzą do jakiegoś równania różniczkowego. W trzeciej części artykułu nawiąże do rozciągania i skręcania swobodnego prętów oraz wyprowadzę równania dla zginania.

Teraz wiecie dlaczego obliczenia przemieszczeń są istotne w kontekście inżynierskim oraz dlaczego są potrzebne również w analizach wytrzymałościowych. Macie świadomość w jaki sposób możemy liczyć przemieszczenia układów oraz poznaliście podstawy obliczeń metodą analityczną.

W kolejnej części artykułu zajmijmy się opisaniem drugiego podejścia do obliczeń przemieszczeń związanego z energią odkształcenia – zapraszam do drugiej części artykułu