Geometryczna niezmienność układu (2)

Home » Blog » Podstawy statyki » Geometryczna niezmienność układu (2)

Oto druga cześć artykułu związanego z podstawami statyki. Głównym tematem omawianym w tej części będzie geometryczna niezmienność układu, która jest związana z jego podparciem.

W ramach artykułu omówimy tematy:

Podpory – jak podeprzeć aby nie spadło…

Zwykle w celu unieruchomienia jakiegoś ciała stosowane są tzw. więzy kinematyczne – wiem straszna nazwa, ale symbolizuje ona coś bardzo prostego – podpory. Parafrazując – aby unieruchomić ciało po prostu trzeba je jakoś złapać i do czegoś przyczepić. Najczęściej w analizach mechanicznych prowadzonych na studiach nasze ciało będzie przyczepiane do mitycznego podłoża, które nie dość, że jest idealnie sztywne (nie przemieszcza się), to jeszcze wraz z idealnie sztywną podporą zapewnia wręcz boskiej jakości więzy kinematyczne. W rzeczywistości, każda podpora ma swoją sztywność, a każde mocowanie do podłoża musi być odpowiednio zaprojektowane (fundamenty, wiązania itp.), ale na ten moment możemy to pominąć.

Teraz – uwaga – wprowadzimy sobie ważne pojęcie. Jeżeli podpory służą do blokowania ruchu ciała to w mechanice będziemy mówili, że odbierają one stopnie swobody układu. Ile w takim razie możemy mieć typów podparcia…? – właściwie tyle ile kombinacji stopni swobody uda nam się ułożyć.

Przykładowo:

  • jeżeli za pomocą jednej podpory chcemy odebrać wszystkie trzy stopnie swobody tarczy, to będziemy mówili o utwierdzeniu,
  • jeżeli chcemy odebrać możliwość ruchu poziomego i pionowego, ale pozostawić możliwość ruchu obrotowego wokół podpory, to mówimy o podporze przegubowej stałej (albo prościej – o podporze stałej),
  • jeżeli chcemy odebrać możliwość ruchu liniowego w konkretnym kierunku (niekoniecznie musi to być kierunek poziomy i pionowy), to mówimy o podporze przegubowej ruchomej.

Takich kombinacji odebranych stopni swobody możemy jeszcze policzyć co najmniej klika. Wszystkie są dostępne w naszej aplikacji EquiBeam.

Geometryczna niezmienność układu – czyli dlaczego nie mogę tego ruszyć…

Podsumowując temat odbierania stopni swobody – aby ciało było unieruchomione należy odebrać wszystkie jego stopnie swobody. Taki układ – uwaga – będziemy nazywać geometrycznie niezmiennym.

Czy to jednak oznacza, że aby unieruchomić tarczę wystarczy podeprzeć ją podporami, których suma odebranych stopni swobody wynosi 3? Niestety, nie do końca… Oczywiście, jeżeli zadamy na tarczę utwierdzenie to odebranie trzech stopni swobody w pełni ją unieruchomi, ale mogą wystąpić takie przypadki podparcia, gdzie pomimo odebrania trzech stopi swobody – odbierzemy nie te, co trzeba

Wyobraźmy sobie sytuację belki podpartej na trzech podporach ruchomych:

Bez żadnej dodatkowej analizy możemy zauważyć, że nie może ona poruszać się w kierunku osi y. Po chwili namysłu stwierdzimy również, że takie ułożenie podpór uniemożliwia jej rotację. Ale… przecież w ogóle nie odebraliśmy jej możliwości poruszania się w osi x. Taki układ, pomimo próby odebrania trzech stopni swobody, dalej będzie mógł się poruszać – taki układ nie będzie geometrycznie niezmienny.

Analizą układów pod względem ich geometrycznej niezmienności zajmuje się analiza kinematyczna, którą pokrótce omówię za chwilę. Jest to temat, który nie jest dość prosty, bo przecież nie musimy się ograniczać do analizy pojedynczej tarczy. Co więcej – często analizujemy układy złożone z wielu różnych tarcz, odpowiednio ze sobą powiązanych (np. w przegubach) oraz w konkretny sposób podpartych. EquiBeam pozwala na analizę niezmienności geometrycznej takich układów belkowych.

Analiza kinematyczna – czy to się może rusza, czy nie?

Dopóki analizujemy pojedynczą tarczę wykonanie analizy kinematycznej jest dość proste – jak już wiesz musimy odebrać „tylko 3 stopnie” swobody. Odebranie stopni swobody związanych z ruchem liniowym względem osi (czasami nazywanych translacyjnymi stopniami swobody) zawsze odbywa się poprzez działanie dwóch nierównoległych sił reakcji. Automatycznie – jeżeli kierunki wszystkich sił reakcji są równoległe – to układ na pewno nie jest geometrycznie niezmienny. Dodatkowo jeśli istnieją tylko dwie nierównoległe siły reakcji, to układ może wykonywać rotację względem punktu przecięcia ich kierunków. Podsumowując:

pojedyncza tarcza jest nieruchoma, jeśli działają na nią trzy reakcje siłowe, gdzie chociaż jedna jest nierównoległa do pozostałych i kierunki wszystkich trzy nie przecinają się w jednym punkcie.

Wszystkie przypadki opisane powyżej ilustruje poniższa grafika.

Znacznie bardziej skomplikowana jest analiza kinematyczna kilku tarcz połączonych za pomocą więzów kinematycznych. W takim przypadku żadna z tarcz nie musi być w pełni utwierdzona poprzez podpory, bo czasami wystarczy, że podpierają się „o siebie”. Spójrzmy na poniższą grafikę.

Obie przedstawione tarcze posiadają odebrane dwa stopnie swobody poprzez podpory – pierwsza poprzez podporę stałą, druga poprzez dwie podpory ruchome. Pomińmy na chwilę połączenie przegubowe między nimi. W takiej sytuacji, jak już wiesz z powyższej analizy, każdej z tych tarcz pozostał tylko rotacyjny stopień swobody – tarcza pierwsza może obracać się wokół podpory stałej, tarcza druga wokół punktu przecięcia reakcji podpór ruchomych. Znając chwilowy środek obrotu każdej z tarcz możemy łatwo określić jaki może być teoretyczny kierunek ruchu każdego z jej punktów – w tym punktu połączenia przegubowego.

I teraz – uwaga – jeśli kierunki ruchu punktu połączenia analizowane względem pierwszej i względem drugiej tarczy nie są równoległe – to znaczy że tarcze same blokują swój ruch rotacyjny poprzez właśnie to połączenie. Taki układ jest geometrycznie niezmienny. Jeśli kierunki byłby równoległe – układ tarcz nie blokowałby własnej rotacji!

Ostatnim przykładem przedstawionym w tym artykule jest rozbudowa powyższego układu o dodatkowe tarczę z połączeniem przegubowym. W takim przypadku jeśli tarcza jest podpięta przegubem do układu nieruchomego (co już określiliśmy). to posiada ona tylko rotacyjny stopień swobody: może obracać się właśnie wokół tego przegubu. Aby ją unieruchomić należy zadziałać siłą reakcji, która nie będzie przechodzić przez ten przegub – co przedstawiano na grafice:

Powyższe rozważania powinny zamknąć temat analizy kinematycznej dla układów belkowych. W kratownicach i ramach mogą pojawić się bardziej skomplikowane sytuacje ze względu np. na istnienie prętów przegubowych, jednakże niezależnie od przypadku zawsze trzeba mieć na uwadze powyższe zależności. Analizę dla układów ram i kratownic rozszerzę w osobnym artykule.

W dalszych rozważaniach założymy, że nasze układy są tak podparte, że są geometrycznie niezmienne. W trzeciej części artykułu omówimy obliczenia reakcji podporowych i dowiemy się co to są układy statycznie wyznaczalne.

INNE WPISY W TEJ KATEGORII