Obliczanie belek – przykład obliczeniowy

Po zapoznaniu się z teorią dotyczącą obliczania reakcji podporowych przyszedł czas na praktykę.

Przeanalizuję dla Was dwa typowe przykłady, które pomogą Wam lepiej zrozumieć jak obliczyć belkę – czyli np. wykonywać analizę statyczną i kinematyczną oraz wyznaczać reakcje podporowe w belkach obciążonych statycznie.

Pokażę Wam krok po kroku, jak wykorzystać poznane równania równowagi, aby poprawnie rozwiązać zadania związane z reakcjami. Omówię belki z różnymi rodzajami podpór i obciążeń, a także zwrócimy uwagę na najczęściej popełniane błędy.

Nasze tematy na dziś to:

Obliczanie belki prostej

Obliczanie belek – oderwanie układu od więzów

Warunek statycznej wyznaczalności belki

Równania równowagi statycznej

Obliczenia reakcji podporowych

Żeby nauczyć się obliczać belki warto prześledzić prezentowane rozwiązania, a potem samodzielnie poćwiczyć w aplikacji EquiBeam. Korzystając z niej, szybko opanujesz obliczanie reakcji belki, które jest kluczowym etapem w analizie statycznej konstrukcji.

Obliczanie belki prostej

W tym przykładzie zajmiemy się obliczeniami belki przedstawionej na poniższym schemacie statycznym:

Belki tego typu nazywane są belkami dwupodporowymi, ze względu na wystąpienie podpory stałej w punkcie B (odbierającej dwa stopnie swobody na kierunkach ruchu pionowego i poziomego) i podpory ruchomej w punkcie D (odbierającej jeden stopień swobody na kierunku prostopadłym do jej podłoża).

Belka ta jest obciążona momentem skupionym K = 2qL² w punkcie A, pionową siłą skupioną P₁ = 2qL  w punkcie C, poziomą siłą skupioną P₂=qL w punkcie D oraz obciążeniem ciągłym o intensywności  pomiędzy punktami A i C.

Obliczanie belek – oderwanie układu od więzów

Pierwszym elementem obliczeń belek jest zwykle oderwanie układu od więzów – zastąpienie podpór poprzez ich reakcje podporowe. Schemat belki z reakcjami znajduje się tutaj:

Zgodnie z tym, co napisałem w kontekście stopni swobody odbieranych przez podpory, analogicznie określamy reakcje podporowe występujące w układzie. Innymi słowy: jeśli podpora blokuje ruch, np. w kierunku osi y, to będzie w niej powstawała siła reakcji na tym kierunku.

Z tego powodu w podporze stałej możemy zapisać dwie reakcje podporowe – na kierunku osi x (H_B ) i osi y (V_B ). Tak naprawdę w tej podporze występuje jedna siła, ale jej kierunek jest dowolny, uzależniony od obciążeń, więc rozkładamy ją na dwie składowe. W podporze ruchomej zapisujemy jedną reakcję na kierunku osi y (V_D ).

Warunek statycznej wyznaczalności belki

Skoro już znamy reakcje występujące w układzie, możemy przejść do określenia czy belka jest statycznie wyznaczalna. Warunek statycznej wyznaczalności dla belek bez przegubów można zapisać jako:

3t-r=0

Gdzie t to oczywiście liczba tarcz (sztywnych elementów konstrukcji), a r to liczba reakcji. Dla naszego przypadku t=1, r=3:

3t-r=0→3⋅1-3=0-ok!

Warunek statycznej wyznaczalności układu jest spełniony – co oznacza, że belka MOŻE BYĆ statycznie wyznaczalna. A dokładniej – jeśli belka jest geometrycznie niezmienna, to układ będzie statycznie wyznaczalny!!! Stąd należy jeszcze sprawdzić geometryczną niezmienność, a więc wykonać analizę kinematyczną.

Tutaj analiza kinematyczna jest bardzo prosta – nasza belka ma 3 stopnie swobody. Dwa z nich odbierane są poprzez podporę stałą. Analizując tylko tą podporę belka może się tylko wokół niej obracać. Jednakże w układzie występuje również podpora ruchoma, której kierunek reakcji (to bardzo ważne!) nie przechodzi przez podporę stałą. Dzięki temu rotacja również jest odebrana i belka jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.

Równania równowagi statycznej

Dopiero teraz możemy przejść do analizy równań równowagi i obliczeń wartości reakcji podporowych. W tym celu analizujemy rzuty wszystkich sił na kierunki osi x i y, jak również analizujemy momenty względem jednego z punktów układu. Pierwszym równaniem będzie suma rzutów sił na oś x:

∑F_{ix} =H_B+qL=0→(1)

W równaniu znajdzie się reakcja H_A pochodząca od podpory stałej oraz siła P₂ . Zwroty obu tych sił są skierowane zgodnie z przyjętym zwrotem osi x, tak więc zapisujemy je ze znakiem +. Równanie kończymy „=0” gdyż tylko wtedy układ może znajdować się w statycznej równowadze.

Drugim równaniem, które zapiszemy będzie suma rzutów sił na oś y:

∑F_{iy} =V_B-q⋅3L-2qL+V_D=0  →  V_B-5qL+V_D=0→(2)

W równaniu znajdą się siły reakcji V_B i V_D zapisane ze znakiem + (zwroty zgodne ze zwrotem osi y), siła skupiona P₁ (ze znakiem -) oraz, UWAGA, siła skupiona pochodząca od obciążenia ciągłego. Siłę tą zapisuje się w środku ciężkości obciążenia ciągłego, a jej wartość to iloczyn wartości obciążenia oraz długości działania – w tym przypadku q·3L. Siła ta jest skierowana zgodnie ze zwrotem obciążenia ciągłego, stąd znak – w równaniu.

Ostatnim równaniem będzie suma momentów względem dowolnego punktu w układzie.

Co ciekawe, ten punkt nawet nie musi być na belce, ale dobrą praktyką jest przyjęcie go w takim miejscu, aby uprościć obliczenia np. w lokalizacji jakiejś podpory, w której występują reakcje siłowe. Taki punkt przyjęcia zmniejszy liczbę niewiadomych występujących w równaniu równowagi. Przyjmijmy zatem punkt B:

∑M_{iB} =-2qL^2-q⋅3L⋅0.5L-2qL⋅2L+V_D⋅3L=0  →  3V_D L-7.5qL^2=0→(3)

W równaniach momentu będą znajdować się wszystkie obciążenia i reakcje, które względem wybranego punktu generują moment siły. Przypomnę, że

moment to siła działająca na pewnym ramieniu.

Jeśli kierunek siły przechodzi przez dany punkt to siła nie generuje momentu względem tego punktu.

Tak więc w równaniu nie pojawią się reakcje H_B i V_B, za to pojawi się reakcja V_D, której kierunek nie przechodzi przez punkt B, a odległość tego punktu od kierunku V_B wynosi 3L. Siła ta wykonuje obrót belki wokół punktu B, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, więc zapiszemy ją ze znakiem + (taki byłby zwrot momentu określonego na podstawie reguły prawej ręki względem osi z!!!).

Pozostają nam momenty od obciążeń. Siła P₂ nie generuje momentu – jej kierunek przecina punkt B. Siła P₁ generuje moment na ramieniu 2L i kręci zgodnie ze wskazówkami zegara: zapisujemy ze znakiem -. Następnie mamy moment skupiony M to już jest moment sam w sobie; nie potrzebuje żadnego ramienia, więc dokładamy go bezpośrednio do równania, zwracając tylko uwagę na znak, w tym przypadku -. I tutaj duża uwaga:

częstym błędem jest zapisywanie momentu skupionego przemnożonego razy ramię w równaniu równowagi momentu!

Ostatnia kwestia to moment pochodzący od obciążenia ciągłego.

Napisaliśmy już, że moment może być zapisany jako siła skupiona występująca w środku ciężkości obciążenia. Dlatego moment zapiszemy jak dla każdej innej siły, uwzględniając wartość tej siły skupionej (q·3L) . W tym przypadku odległość tej siły zastępczej od punktu B wynosi, UWAGA, 0.5L.

I to też jest bardzo częsty błąd: studenci z góry zakładają, że ramię momentu od obciążenia ciągłego jest równe połowie długości działania obciążenia ciągłego! Po samej analizie tego przykładu widać już, że to nie jest zawsze prawda, choć czasem może zdarzyć się taki przypadek!

Obliczenia reakcji podporowych

Skoro mamy już poprawnie zapisane równania równowagi, to możemy je potraktować czysto matematycznie, jako układ 3 równań z 3 niewiadomymi. W takiej sytuacji z równania (1) obliczymy reakcję H_B , z równania (3) reakcję V_D  i podstawiając do równania (2) obliczymy reakcję V_B

(1)→H_B=-qL, (3)→V_D=2.5qL,(2)→V_B=2.5qL

W ten sposób „obliczyliśmy” belkę – od analizy układu, poprzez analizę statyczną i kinematyczną po zapisanie równań równowagi i obliczenie reakcji podporowych.

W kolejnym artykule przedstawię jak wyglądają obliczenia belki przegubowej (gerberowskiej).