Obliczenia belek – belka gerberowska (z przegubami)

W poprzednim artykule przedstawiłem schemat postępowania związany z obliczeniami reakcji podporowych w przypadku belek prostych (ciągłych). Jeżeli go nie przeczytaliście, to zachęcam do nadrobienia materiału, a potem do obliczenia belek online w aplikacji EquiBeam.

Teraz pora na zagadnienie obliczeń belki przegubowej tj.

Obliczanie belki gerberowskiej

Obliczenia belek – oderwanie układu od więzów

Warunek statycznej wyznaczalności belki gerberowskiej

Równania równowagi statycznej

Obliczenia reakcji podporowych

Podsumowanie

Obliczanie belki Gerbera

Zajmiemy się obliczeniami belki przegubowej przedstawionej na poniższym schemacie statycznym:

Belki tego typu nazywane są belkami gerberowskimi (belkami Gerbera), ze względu na wystąpienie przegubu w punkcie B, umożliwiającego względny obrót dwóch części belki.

Lewa część belki podparta jest przez wspornik w punkcie A (utwierdzenie – odbierające 3 stopnie swobody). Prawa cześć belki podparta jest na podporze ruchomej.

Belka ta jest obciążona:

• momentem skupionym K=2qL² po lewej stronie punktu B (pamiętajcie: nie da się przyłożyć momentu w przegubie, można tylko po jego jednej lub drugiej stronie),
• pionową siłą skupioną P₁=qL w punkcie C oraz
• obciążeniem ciągłym o intensywności q pomiędzy punktami B i D.

Obliczenia belki – oderwanie układu od więzów

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, pierwszym elementem obliczeń belek jest oderwanie układu od więzów: zastąpienie podpór poprzez ich reakcje podporowe.

Schemat belki z reakcjami:

Zauważcie, że w przypadku tego przykładu belka nie została rozbita na dwie części, a przegub zastąpiony reakcjami. Istnieje też druga metoda podejścia do obliczeń, którą zobaczycie w EquiBeam wybierając opcję obliczenia sił w przegubach.

Tak czy inaczej, w utwierdzeniu możemy zapisać 3 reakcje podporowe, ponieważ odbiera ono 3 stopnie swobody: na kierunku osi x (H_A), osi y (V_A) oraz obrót wokół osi z tworzący moment utwierdzenia (M_A). W podporze ruchomej zapisujemy jedną reakcję na kierunku osi y (V_D).

Z tego powodu w podporze stałej możemy zapisać dwie reakcje podporowe – na kierunku osi x (H_B) i osi y (V_B). Tak naprawdę w tej podporze występuje jedna siła, ale jej kierunek jest dowolny, uzależniony od obciążeń, więc rozkładamy ją na dwie składowe. W podporze ruchomej zapisujemy jedną reakcję na kierunku osi y (V_D).

Warunek statycznej wyznaczalności belki gerberowskiej

Warunek statycznej wyznaczalności dla belek z przegubami można zapisać jako (gdyż każdy przegub p odbiera 2 względne stopnie swobody):

3t-r-2p=0

Warunek statycznej wyznaczalności układu:

3t-r-2p=0→3⋅2-4-2⋅1=0-ok!

Warunek statycznej wyznaczalności układu jest spełniony – belka MOŻE BYĆ statycznie wyznaczalna.

Wykonujemy analizę kinematyczną.

Nasza belka ma 6 stopni swobody, bo składa się z dwóch tarcz.

Wszystkie trzy stopnie swobody lewej części belki odbierane są poprzez utwierdzenie. Oznacza to, że lewa część od razu jest geometrycznie niezmienna.

Prawa strona belki połączona jest z lewą za pomocą przegubu, co oznacza odebranie jej dwa z trzech stopni swobody. Prawa strona w takiej sytuacji może swobodnie obracać się wokół punktu przegubu.

Obrót ten usuwany jest przez podporę ruchomą, której kierunek nie przechodzi przez punkt obrotu w przegubie. Finalnie, cała belka jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.

Równania równowagi statycznej

Pozostaje nam zapisanie równań równowagi.

W przypadku belek gerberowskich, poza podstawowymi trzema równaniami równowagi, mamy do dyspozycji dodatkowe równania względem przegubu (∑ M_iBl i ∑ M_iBp). Jest to spowodowane tym, że przegub, umożliwiając swobodą rotację belki, nie przenosi momentu gnącego.

W efekcie, do określenia 4 niewiadomych reakcji mamy do dyspozycji aż 5 równań.  Dzięki temu jedno z nich (najczęściej jest to równanie momentów dla całej belki) możemy pominąć i uprościć sobie obliczenia.

Zapiszmy równania globalne, zaczynając od sumy sił po osi x:

∑F_{ix} =H_A=0

Poza reakcją H_A w belce nie występują siły poziome. Oznacza to, że wartość tej reakcji jest równa 0. Równanie sił po y:

∑F_{iy} =V_A-q⋅3L+qL+V_D=0  →  V_A-2qL+V_D=0→(1)

Mamy tutaj dwie reakcje pionowe oraz składowe sił od obciążenia ciągłego q i siły skupionej P.  Znaki w równaniu są oczywiście zależne od zwrotów sił względem przyjętego zwrotu osi y.

∑M_{iA }=M_A+2qL^2-q⋅3L⋅2.5L+qL⋅2L+V_D⋅4L=0  →  M_A+4V_D L-3.5qL^2=0

W równaniu momentów względem punktu A też nie ma niespodzianek. Reakcje V_A i H_A nie występują (kierunki przechodzą przez punkt A) – mamy momenty skupione od reakcji (M_A) i obciążenia (K), momenty od sił skupionych V_D na odległości 4L i siły P na odległości 2L oraz moment od obciążenia ciągłego, gdzie odległość zastępczej siły skupionej od punktu A wynosi 2.5L.

Ostatnie równania do zapisania dotyczą danej strony przegubu. Tutaj wystarczy pamiętać, że zapisując równanie po stronie lewej całkowicie zapominamy o tym, co się dzieje po prawej stronie. I oczywiście odwrotnie, co obrazuje poniższy rysunek. Bazą (czy biegunem) momentu zostaje przegub:

∑M_{iBl} =M_A+2qL^2-V_A⋅L=0  →(2)

∑M_{iBp} =-q⋅3L⋅1.5L+qL⋅L+V_D⋅3L=0  →  3V_D L-3.5qL^2=0→(3)

Obliczenia reakcji podporowych

Finalnie, wykorzystując równania równowagi, obliczamy wartości niewiadomych podporowych:

• z równania (3) obliczymy reakcję V_D,
• podstawiamy do równania (1) i obliczamy V_A ,
• podstawiamy do równania (2) i obliczamy reakcję M_A.

H_B=0,(3)→V_D=1 \frac{1}{6} qL,(1)→V_A=\frac{5}{6} qL,(2)→M_A=-1 \frac{1}{6}  qL^2

W przypadku złożonych belek gerberowskich warto wykonać sprawdzenie, np. poprzez zapisanie równania momentów względem innego punktu układu i sprawdzenie czy moment odpowiednio się zeruje.

Jeśli tak, to reakcje zostały obliczone poprawnie. W tym przypadku możemy skorzystać z zapisanego dla całego układu równania momentów, które nie zostało wykorzystane do rozwiązania układu równań:

-1\frac{1}{6} qL^2+4⋅(1 \frac{1}{6} qL)⋅L-3.5qL^2=0-ok!

Tym zakończymy drugi przykład obliczeniowy.

Podsumowanie

Analiza kinematyczna, statyczna i obliczenia reakcji podporowych to pierwsze kroki w ocenie statycznej belek.

Przykłady omówione w artykułach pokazują, że zrozumienie podstawowych zasad statyki oraz poprawne zastosowanie równań równowagi umożliwiają szybkie i efektywne obliczanie reakcji nawet w złożonych układach.

Prześledźcie przedstawione rozwiązania. Policzcie swoje przykłady w aplikacji EquiBeam. Będziecie mieć solidną bazę, aby podejmować bardziej zaawansowane obliczenia belek.