Obliczenia reakcji podporowych w belkach statycznie wyznaczalnych (3)

Home » Blog » Podstawy statyki » Obliczenia reakcji podporowych w belkach statycznie wyznaczalnych (3)

„Hej! Kto przykleił Marka do fotela!”

Oto trzecia część artykułu o podstawach statyki. Dowiesz się jak i po co liczymy reakcje podporowe oraz czym są układy statycznie wyznaczalne. Pokażę również jak takie układy analizujemy za pomocą EquiBeam.

W ramach artykułu omówimy tematy:

Reakcje podporowe – jak oderwać układ od podłoża

Wykorzystując wiedzę z poprzednich części artykułu wiemy, że możemy analizować tarczę która jest w jakiś sposób podparta, ale jak to podparcie się ma do opisywanych wcześniej warunków równowagi statycznej?

Tutaj sprawa też jest dość prosta do ogarnięcia – jeżeli jakaś podpora blokuje danych rodzaj ruchu to próba zadziałania siłą na ciało w tym kierunku wywoła reakcję tej podpory w postaci siły (lub momentu) – dochodzimy tutaj do ważnego pojęcia – reakcje podporowe.

Reakcje podporowe to wszystkie siły i momenty, które generują się w danej podporze aby uniemożliwić ruch ciała blokowany przez daną podporę.

Wynika z tego jeden wniosek – w podporze możemy wyróżnić tyle reakcji podporowych ile podpora odbiera stopni swobody.

Przykładowo:

  • w utwierdzeniu (odbiera 3 stopnie swobody) możemy wyróżnić reakcje w postaci siły poziomej, siły pionowej i momentu utwierdzenia,
  • w podporze przegubowej stałej (odbiera 2 stopnie swobody) możemy wyróżnić reakcje w postaci siły poziomej i siły pionowej – tak naprawdę to jedna reakcja ale można ją rozłożyć na dwie składowe – prostopadłe do osi układu współrzędnych,
  • w podporze przegubowej ruchomej (odbiera 1 stopień swobody) możemy wyróżnić jedną reakcję w postaci siły prostopadłej do podłoża tej podpory.

W rozwiązywaniu zadań etap, gdzie zamieniamy podporę na wynikający z jej działania zestaw reakcji podporowych nazywa się oderwaniem od więzów.

Od czego zależą więc wartości reakcji podporowych? Właściwie można uprościć, że od obciążenia.

A dokładniej w przypadku układów statycznie wyznaczalnych (omówię je dokładnie za chwilę), od typu obciążenia, jego wartości oraz lokalizacji. W przypadku układów statycznie niewyznaczalnych ważna jest też sztywność układu, ale to rozważania na zupełnie inny artykuł.

Upraszczając to, co przed chwilą napisałem – jeżeli na układ nie działają żadne siły to wartości reakcji również będą równe 0. Jeżeli jakieś siły jednak działają to wartości reakcji (niekoniecznie wszystkich) będą niezerowe.

W jaki sposób można obliczyć wartości reakcji podporowych – tu wracamy do zadanego pytania:

obliczenia reakcji podporowych dla układów statycznie wyznaczalnych wykonujemy za pomocą równań statycznej równowagi.

Jeżeli układ ma być nieruchomy to działające siły muszą się równoważyć – jest to bezpośrednio związane z tym, że wartości reakcji podporowych muszą w odpowiedni sposób równoważyć działające na układ obciążenia! Rozpisując równania równowagi w zasadzie otrzymujemy układ równań, którego rozwiązaniem są wartości reakcji podporowych.

W tym momencie przebrnęliśmy przez pierwszą typową bolączkę studentów – obliczenia reakcji podporowych (przynajmniej w teorii) – więc już wiesz dlaczego w analizie belek, ram i kratownic stosuje się podpory, dlaczego rozpisuje się równania równowagi oraz co można z nich obliczyć – wartości reakcji.

Aby zamknąć ten temat powinniśmy cytując: „zadać sobie na jedno ********** ważne pytanie”: po co w ogóle nam znajomość wartości reakcji? Śpieszę z odpowiedzią – znajomość reakcji podporowych umożliwia nam obliczenie wartości sił wewnętrznych, których znajomość jest podstawą obliczeń wytrzymałościowych, oraz wartości przemieszczeń układu, które są bardzo istotną częścią prowadzenia jakichkolwiek prac projektowych.

Biorąc pod uwagę, że temat analizy reakcji i równań równowagi w artykule został przedstawiony tylko teoretycznie, po nieograniczoną liczbę przykładów takiej analizy zapraszam do naszej aplikacji EquiBeam!

Na koniec chciałbym nawiązać do tematu układów statycznie wyznaczalnych – bo z tymi na pewno spotkacie się na początku swojej drogi..

Układy statycznie wyznaczalne – co da, a czego nie da się szybko policzyć

W zasadzie temat układów statycznie wyznaczalnych nie jest w pełni problemem mechanicznym – jest on bardziej związany z podstawowymi prawami matematyki. Jak już wiesz z wcześniejszych części artykułu, jednym z pierwszych etapów analizy mechanicznej układu jest wyznaczenie wartości reakcji podporowych. Wiesz również, że ich wartości można obliczyć rozpisując równania równowagi i rozwiązując układ równań, który z nich powstaje.

Pytanie – czy zawsze z otrzymanego układu równań da się obliczyć wartości reakcji? Niestety nie… i stoi nam tutaj na drodze brutalna matematyka.

Równania równowagi najczęściej tworzą układ równań liniowych. W takim przypadku matematyka mówi jasno – aby obliczyć konkretne wartości niewiadomych w układzie równań – liczba niewiadomych musi być równa liczbie równań.

Oczywiście, nie jest to warunek wystarczający, bo możemy się spotkać z układami sprzecznymi lub nieoznaczonymi, ale takie raczej nie występują w geometrycznie niezmiennych układach mechanicznych. Oznacza to, że przy analizie pojedynczej tarczy (dla której możemy rozpisać 3 równania równowagi) możemy mieć tylko trzy niewiadome w postaci reakcji podporowych.

W przypadku większej liczby tarcz – dla każdej z osobna możemy rozpisać trzy równania równowagi. Niestety w takich układach konieczne jest również dołożenie dodatkowych podpór oraz połączeń pomiędzy tarczami, które jako więzy również generują dodatkowe niewiadome w postaci reakcji w połączeniach.

Generalnie typowym połączeniem pomiędzy tarczami jest przegub, który wiąże ich przemieszczenia pionowe i poziome – odbiera więc 2 (słownie dwa – tak wiem, że to męczące – ale warto to powtarzać) stopnie swobody – generując automatycznie dwie reakcje.

Na bazie wszystkich powyższych wiadomości można sformułować proste prawo matematyczne związane z możliwością obliczenia wartości reakcji na podstawie równań równowagi dla układów geometrycznie niezmiennych. Dla płaskich tarcz obciążonych w ich płaszczyźnie (belki i ramy) można je sformułować w następujący sposób:

3\cdot t-2\cdot p-r=0

gdzie: t – liczba tarcz w układzie, p – liczba połączeń przegubowych, r – liczba reakcji podporowych.

Dla kratownic, gdzie poza reakcjami, niewiadomymi są wartości sił w prętach kratownicy, a dla każdego węzła jesteśmy w stanie zapisać dwa równania, może ono wyglądać tak:

2\cdot w-k-r=0

gdzie: w – liczba węzłów kratownicy, k – liczba prętów kratownicy, r – liczba reakcji podporowych.

Pomimo tego, że samo prawo jest proste, niestety nie jest ono pełnym wyznacznikiem tego czy reakcje da się policzyć (jest to warunek konieczny, ale nie wystarczający – jak w matematyce).

Aby być tego pewnym możemy zastosować modyfikację powyższych wzorów oraz krótki algorytm (przedstawiony poniżej). Modyfikacja wzorów polega na utworzeniu współczynnika określającego nadmiarową liczbę niewiadomych – ksn

k_{sn}=2\cdot p+r-3\cdot t
lub
k_{sn}=k+r-2\cdot w

Proponowany algorytm działania:

  • obliczamy wartość współczynnika ksn na podstawie informacji o liczbie tarcz, typach i liczbie podpór i połączeń,
  • jeżeli ksn < 0 – to mamy pewność, że została odebrana zbyt mała liczba stopni swobody – układ nie jest geometrycznie niezmienny – nie liczymy go metodami statyki, a raczej kinematyki,
  • jeżeli ksn > 0 – to układ może być (ale nie musi!) geometrycznie niezmienny – wykonujemy analizę kinematyczną,
  • jeżeli z analizy kinematycznej otrzymamy informację, że układ jest geometrycznie niezmienny, to wracamy do analizy współczynnika ksn.

Wszystkie układy spełniające warunek geometrycznej niezmienności oraz dla których ksn = 0 nazywamy układami statycznie wyznaczalnymi – jesteśmy w stanie obliczyć wszystkie wartości reakcji na podstawie równań równowagi.

Jeżeli układ jest geometrycznie niezmienny, a ksn > 0 to układ jest statycznie niewyznaczalny – nie jesteśmy w stanie obliczyć reakcji tylko za pomocą równań równowagi, co nie oznacza, że nie jesteśmy w stanie ich obliczyć w ogóle.

Dodatkowo możemy teraz wprowadzić ładną nazwę współczynnika ksn – to stopień statycznej niewyznaczalności układu.

Do obliczeń układów statycznie niewyznaczalnych wykorzystujemy dodatkowe metody uwzględniające sztywność układu (jego przemieszczenia)

  • metodę Clebcha,
  • metodę sił,
  • metodę przemieszczeń,
  • metodę Menabrei-Castigliano.

Te i inne metody dostępne są w naszej aplikacji EquiBeam.

Zadania statycznie wyznaczalne w EquiBeam – czyli po co to zrobiliśmy…

O EquiBeam jako całej aplikacji dowiesz się więcej z zakładki aplikacji na naszej strony internetowej. Tutaj chciałbym tylko podkreślić, że w EquiBeam znajdziesz metodę „Belki statycznie wyznaczalne”, która służy właśnie do obliczeń reakcji, obliczeń sił wewnętrznych i rysowania ich wykresów.

Rozwiązując zadanie statycznie wyznaczalne w EquiBeam otrzymasz rozpisane reakcje podporowe, uzupełnione równania równowagi, wraz z ich pełnym rozwiązaniem, aż do wartości reakcji podporowych. Program określi również czy belka jest geometrycznie niezmienna.

W załączonym filmie przedstawiam przykład rozwiązania takiej belki w EquiBeam. Zachęcam do skorzystania z aplikacji w celu ćwiczenia rozwiązywania zadań z układów belkowych!

Jeżeli dotarłeś do tego punktu – to dziękuję z przeczytanie artykułu. Jestem przekonany, że rozjaśni Ci on kwestię podstaw obliczeń mechanicznych, oceny czy układ jest statycznie wyznaczalny, analizy reakcji podporowych i obliczeń ich wartości.

INNE WPISY W TEJ KATEGORII