W kolejnym artykule związanym z podstawami statyki zajmiemy się obliczaniem kratownic.
Głównymi tematami tego wpisu będą analiza kinematyczna i obliczenia reakcji podporowych w kratownicach, a dokładnie:
- Co to kratownice i pręty przegubowe
- Wyznaczanie sztywnych tarcz i wolnych prętów w kratownicy
- Obliczenia reakcji podporowych
Kratownice i pręty przegubowe – tu nie ma zginania!
Myślę, że nasze dywagacje dotyczące kratownic powinniśmy zacząć od tego, że obliczenia kratownic to jedne z najprostszych analiz z jakimi możemy się spotkać w mechanice czy wytrzymałości materiałów. Dlaczego tak jest? Postaram się to wyjaśnić w dalszej części tego artykułu.
To, co powinniście wiedzieć na wstępie to to, że kratownice są układem/ustrojem składającym się z prętów przegubowych.
Czym zatem są te pręty przegubowe?
Pręty przegubowe są prostymi odcinkami (prętami) zakończonymi przegubami i obciążonymi tylko siłami działającymi w ich osi.
Taka by mogła być uproszczona definicja, z której wynika bardzo istotna (z punktu widzenia wytrzymałości) informacja: w prętach przegubowych występują jedynie siły normalne – czyli prostopadłe do przekroju poprzecznego. Taki element nie jest zginany, ścinany ani skręcany, co już samo w sobie powoduje, że ma bardzo wysoką sztywność i może przenosić duże obciążenia. W analizach kratownic, oprócz obliczeń reakcji, będziemy poszukiwać właśnie wartości tych sił normalnych – mają one bezpośredni wpływ na naprężenia w prętach kratownicy.
Jako dygresję do tej definicji można dodać, że w rzeczywistości takie pręty są też obciążone np. siłami masowymi (grawitacja), siłami od wiatru itp. co ma pewien wpływ na ich wytrzymałość. Jednak do wstępnych obliczeń przedstawiony „model” pręta w zupełności jest wystarczający.
Wracając zatem do kratownicy: jest to zestaw prętów przegubowych połączonych właśnie w ich zakończeniach, które dalej będziemy nazywać węzłami kratownicy. Z samej definicji prętów przegubowych wynika jeszcze kilka ważnych kwestii dotyczących obciążeń i podparcia kratownicy. Aby kratownica mogła pozostać „teoretyczną kratownicą”, wszelkie obciążenia i podparcia muszą być zadane w węzłach kratownicy.
Co więcej, w węzłach można zadać tylko obciążenia w formie sił skupionych! Tak więc jedyne obciążenia mechaniczne występujące w teoretycznej kratownicy to siły skupione (pod dowolnym kątem), a jedyne podpory jakie można wykorzystać to podpory przegubowe (stałe i ruchome).
Podsumowując ten krótki wstęp: obliczenia kratownicy najczęściej polegają na określeniu reakcji podporowych i sił normalnych w prętach kratownicy. W prętach nie występują żadne inne siły wewnętrzne, co już znacznie upraszcza obliczenia (np. w stosunku do analiz belek czy ram). W analizie kratownic mamy również znacznie ograniczony zestaw obciążeń i podpór.
Zanim zajmiemy się tematem wyznaczania reakcji podporowych w kratownicy, poświęćmy chwilę aby omówić kratownice z punktu widzenia ich analizy kinematycznej.
Wyznaczanie sztywnych tarcz i wolnych prętów w kratownicy – jak utrudnić sobie obliczenia
Z poprzednich artykułów wiecie już, że każdy sztywny element na płaszczyźnie posiada 3 stopnie swobody. Na tej podstawie formułuje się przecież warunek statycznej wyznaczalności dla belek czy ram.
Z drugiej strony wiecie już, że warunek statycznej wyznaczalności dla kratownic przyjmuje zupełnie inną postać, a dokładniej:
2w-k-r=0
lub dla kratownic jednotarczowych:
2w-k-3 =0
Warunek ten podchodzi do kwestii wyznaczalności kratownicy nie bezpośrednio z poziomu liczby tarcz, połączeń kinematycznych w układzie itd. (ogólnie mówiąc stopni swobody), ale z liczby równań równowagi, które można zapisać dla węzłów kratownicy oraz niewiadomych reakcji i sił prętowych. O tym dlaczego możemy rozwiązywać kratownice za pomocą równoważenia węzłów napiszę w osobnym artykule, jednak teraz chciałbym skupić waszą uwagę na tym, dlaczego w kratownicach nie stosuje się takich samych warunków jak dla belek i ram oraz na to, co to do … są kratownice jednotarczowe…
Spójrzmy zatem na kratownicę rozpoczynając od pojedynczego pręta przegubowego.
Taki pręt jeśli nie jest podparty posiada 3 wolne stopnie swobody. Jeżeli do takiego pręta dołączymy kolejny pręt za pomocą połączenia przegubowego, to idąc za prostą matematyką – dokładamy kolejne 3 stopnie swobody i odbieramy 2 (przez połączenie przegubowe – blokada względnego ruchu na kierunku poziomym i pionowym).
n=3t-2p=3⋅2-2⋅1=4
Taki układ dwóch prętów ma już 4 stopnie swobody. Teraz dołóżmy kolejny pręt, który będzie podłączony do wcześniejszych za pomocą kolejnych dwóch przegubów. W sumie mamy 3 pręty i 3 przeguby:
n=3t-2p=3⋅3-2⋅3=3
Okazuje się, że taki układ trzech połączonych ze sobą prętów posiada 3 stopnie swobody, czyli dokładnie tyle ile zwykła tarcza na płaszczyźnie. Co więcej, taki układ prętów jest geometrycznie niezmienny. W efekcie układ trzech połączonych ze sobą prętów będziemy nazywać komórką elementarną kratownicy i będziemy go dalej interpretować jako pojedynczą tarczę (patrz animacja poniżej).
Zastanówmy się teraz w jaki sposób rozbudowuje się taką komórkę elementarną.
Aby zwiększyć rozmiar kratownicy można dołożyć do komórki elementarnej kolejne dwa pręty połączone ze sobą w przegubie… I w tym momencie dzieje się magia, która często bywa problemem, szczególnie ze względu na zapis analizowanego układu w formie równania stopni swobody… Błąd w rozumowaniu najczęściej polega na tym, że właśnie dodaliśmy dwa pręty (każdy po 3 stopnie swobody) i jeden przegub (usunęliśmy 2 stopnie swobody), co prowadziłoby do takiego równania:
n=3t-2p=3⋅5-2⋅4=7
Taki wynik wskazywałby że układ 5 prętów w kratownicy nie byłby sztywną tarczą. Zapominamy jednak tutaj o bardzo ważnej rzeczy – przecież:
przypinając nowe pręty do komórki elementarnej – od razu usuwamy każdemu z nich dwa stopnie swobody!
Gdybyśmy tych nowych prętów nie połączyli przegubem to one względem komórki elementarnej mogłyby się tylko obracać wokół swoich połączeń (animacja poniżej). Wychodzi na to, że każdy nowo połączony pręt w danym przegubie zwiększa liczbę stopni swobody odbieranych przez ten przegub, lub inaczej – każdy dołożony pręt do istniejącego połączenia przegubowego każe nam dodawać myślowo jeden przegub do układu. Uwzględniając ten fakt liczba przegubów w analizowanym układzie (wraz z wirtualnymi) jest równa 6:
n=3t-2p=3⋅5-2⋅6=3
Podsumowując: po dodaniu dwóch prętów połączonych przegubem do komórki elementarnej, dalej otrzymujemy pojedynczą sztywną tarczę. I tak będzie za każdym razem kiedy dodamy taki zestaw prętów do sztywnej tarczy. Końcowo – możemy mieć kratownicę składającą się z dużej liczby prętów połączonych w bardzo różny sposób, jednak dalej będziemy ją interpretować jako jedną tarczę – takie kratownice nazywamy kratownicami jednotarczowymi. W myśl ruchu na płaszczyźnie mają one tylko 3 stopnie swobody i tylko te 3 stopnie swobody należy odebrać poprzez reakcje podporowe. Ten typ kratownicy spotykamy w 95% zadań związanych z kratownicami na studiach wyższych!
A co w sytuacji kiedy kratownice mają bardziej skomplikowane połączenia?
Powiedziałbym – nic trudnego – możemy je liczyć tak jak belki czy ramy wielotarczowe. Tego typu układy mogą mieć więcej reakcji podporowych lub dodatkowe połączenia pomiędzy tarczami w postaci przegubów i wolnych prętów (takich nie należących do żadnej sztywnej tarczy -animacja poniżej).
Podsumowując: analiza stopni swobody kratownicy z uwagi na jej połączenia i pręty może być bardzo nieprzyjemna i często myląca. Z tego właśnie powodu do analizy statycznej wyznaczalności kratownic stosuje się prostsze wzory związane z równaniami równowagi węzłów. Niestety, w celu przeprowadzenia analizy kinematycznej – sprawdzenia geometrycznej niezmienności – i tak trzeba zbadać połączenia między prętami. Bez tego nigdy nie jesteśmy pewni czy nasza kratownica może być analizowana za pomocą metod statyki. Przejdźmy teraz do obliczeń samych reakcji.
Obliczenia reakcji podporowych – czyli jak liczyć, aby nie znaleźć się za kratkami
Skoro już wiemy czym są kratownice jednotarczowe, jak określać sztywne tarcze w układach prętowych i jak radzić sobie z określeniem statycznej wyznaczalności kratownicy to same obliczenia reakcji podporowych nie powinny być dla nas dużym wyzwaniem. Obliczenia takie sprowadzają się do określenia niewiadomych reakcji (również w połączeniach kinematycznych), zapisania równań równowagi statycznej i czystej matematyki.
W statycznie wyznaczalnych kratownicach jednotarczowych możemy spodziewać się tylko 3 reakcji podporowych i możemy również zapisać 3 podstawowe równania równowagi:
∑F_{ix} =0,∑F_{iy} =0,∑M_i =0,
W układach wielotarczowych możemy rozbijać kratownicę na podukłady (tarcze) zastępując przeguby i wolne pręty za pomocą sił reakcyjnych. Wtedy dla każdego podukładu możemy zapisać 3 równania równowagi. Opcjonalnie możemy próbować zapisywać równania momentów po lewej czy prawej stornie przegubu tak jak się to robi w belkach czy ramach. Wtedy uzyskujemy dodatkowe równania bez konieczności rozdziału przegubu na reakcje.
Ostatnią kwestią, którą wypada wyjaśnić jest często problematyczna interpretacja połączenia w ramach którego wchodzi tylko jeden pręt przegubowy i podpora stałą. Często na wstępnie zakłada się, że w takiej podporze są dwie niezależne reakcje podporowe, co prowadzi do zbyt dużej liczby niewiadomych w równaniach równowagi. W praktyce – taki pręt może przenieść tylko siłę działającą na kierunku tego pręta – tak więc pomimo podpory stałej – mamy tam jedną niewiadomą reakcji, która na pewno ma kierunek zgodny z osią pręta.
To była część teoretyczna. Na część praktyczną zapraszam do EquiTruss: modułu naszej aplikacji EquiStruct, w którym obliczycie reakcje podporowe (i nie tylko!) każdej kratownicy, nie ważne z ilu składa się tarcz!
Przeczytajcie koniecznie artykuły dotyczące obliczeń sił wewnętrznych w kratownicach!
