Stopnie swobody i równania równowagi statycznej (1)

Home » Blog » Podstawy statyki » Stopnie swobody i równania równowagi statycznej (1)

„Chłopaki… dlaczego Marek się nie rusza?”

Oto pierwszy artykuł, który stworzyłem dla Ciebie w ramach Bloga MechaDevs. Chciałbym w nim przedstawić podstawy wspaniałego działu mechaniki, którym jest statyka oraz wprowadzić kilka pojęć, które będą nam potrzebne przy dalszych rozważaniach w temacie obliczeń mechanicznych  i wytrzymałościowych belek, ram kratownic.

Artykuł w swoich trzech częściach odpowie na pytania związane z tym czym są stopnie swobody, równania równowagi, co to geometryczna niezmienność oraz po co liczmy reakcje podporowe. Znajomość przedstawionych tu informacji zapewne pozwoliłaby studentom na uniknięcie wielu różnych wypadków (i drastycznie zmniejszyłaby ilość śmiesznych filmików na YT…).

W pierwszej części artykułu omówimy tematy:

Statyka – mechanika ciała leżącego (znaczy nieruchomego)…

Jak pewnie doskonale wiesz, mechanika jest częścią fizyki, która zajmuje się ruchem punktów, ciał i wszystkich innych rzeczy, które powinny się poruszać (a się nie poruszają… i odwrotnie). Skoro analizujemy ich ruch – tym bardziej zajmuje się kinematyka i dynamika – to wypadałoby również zastanowić się nad sytuacją, w której dany obiekt się nie porusza. Najważniejsze w tym kontekście są właśnie warunki, które muszą zostać spełnione, aby ciało mogło pozostawać w spoczynku. Opisem tych warunków, jak i wszystkim, co wiąże się z analizą mechaniczną nieruchomych elementów zajmuje się właśnie statyka.

Zanim jednak przejdziemy do samej statyki – przypomnijmy sobie zajęcia w przedszkolu, gdzie omawiany był ruch liniowy punktu. W ramach przedstawianej teorii była mowa o położeniu punktu (opisanym np. przez zmienną x), jego prędkości (Vx), która odpowiada za zmianę położenia oraz pewnie ktoś wspomniał o przyspieszeniu tego punktu (ax), które znowu odpowiada za zmianę prędkości.

 

Podczas omawiania przyspieszenia usłyszałeś/aś pewnie typowe kinematyczne wulgaryzmy, które z resztą całkiem nieźle wchodzą w pamięć – np. ruch jednostajny czy jednostajnie przyspieszony. Jednak mogło Ci umknąć nazwisko pewnego całkiem nieznanego naukowca – pana Isaaca Newtona, który chcąc nie chcąc, na wskutek pewnego wypadku (jak mówi legenda) stworzył bardzo sensowe podwaliny pod aktualne rozważania dynamiczne.

Pewnie się zastanawiasz dlaczego tak nachalnie nawiązuję do dynamiki.. Otóż właśnie w zasadach dynamiki znajdziemy odpowiedź na nurtujące nas pytanie… To pierwsza zasada dynamiki Newtona wyjaśnia, kiedy możemy spodziewać się braku ruchu. Parafrazując:

Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub działające siły się równoważą to obiekt pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym (jeśli wcześniej miało jakąś prędkość początkową…)

Czyli mamy już podstawę – jako że w rzeczywistości nie sposób osiągnąć stanu gdzie żadne siły nie działają (zawsze przecież gdzieś nas ciągnie) – to po prostu aby zachować stan spoczynku – siły muszą się równoważyć – odpowiednio znosić. Dla przedszkolnego przykładu ciała poruszającego się po linii prostej powyższy warunek można bardzo łatwo opisać matematycznie:

∑F_{ix} =0

Tłumacząc – suma wszystkich sił działających na kierunku ruchu ciała musi być równa 0. Jednak jest to przypadek bardzo prosty i myślę, że możemy odrobinę podnieść poprzeczkę.

Stopnie swobody – co i jak się rusza…

W swojej karierze studenckiej najczęściej spotkasz się z analizą mechaniczną układów płaskich – np. różnego rodzaju tarcz. Przez tarcze będziemy rozumieć układy których geometrię da się narysować na kartce papieru (bez korzystania z metod rzutowania przestrzennego) oraz są obciążone siłami które również pracują w płaszczyźnie tej kartki. Innymi słowy – wszystko dzieje się na płaszczyźnie (witamy w świecie płaszczaków). Przykładami takich tarcz mogą być fragmenty belek, ram płaskich, kratownic itp.

W przypadku analizy układów płaskich warto się zastanowić w jaki sposób takie obiekty mogą poruszać się na omawianej kartce. Najczęściej gdy pytam o to studentów odpowiedź brzmi „w gorę, w dół i na boki…”. Czyli po inżynierskiemu będzie to pionowo i poziomo, ale to niestety nie wszystko! Taki układ może się jeszcze obrócić wokół własnej osi, która będzie prostopadła do naszej kartki. Połączenie tych trzech rodzajów ruchu daje nieograniczone możliwości poruszania się obiektu płaskiego po płaszczyźnie:

 

I w tym momencie powinniśmy wprowadzić nowe pojęcie – stopnie swobody.

W analizowanym kontekście poprzez stopnie swobody układu będziemy rozumieć właśnie liczbę niezależnych rodzajów (czy kierunków) ruchu, które może wykonać dane ciało.

Tak więc tarcza na płaszczyźnie – uwaga – posiada 3 (słownie: trzy) stopnie swobody. Może należałoby tutaj dodać, że w tym przypadku analizujemy tą tarczę jako element sztywny (obiekt odkształcalny miałby nieskończoną liczbę swobody – ale o tym może kiedy indziej…). Analogicznie wracając do przykładu punktu na prostej – taki punkt posiadał jeden stopień swobody. Uzupełniając: w naszej trójwymiarowej przestrzeni, według mechaniki klasycznej bryła posiada 6 (słownie: sześć) stopni swobody (trzy przemieszczenia w kierunkach osi układu współrzędnych i trzy obroty wokół tych osi).

Równania równowagi statycznej – równowaga to podstawa…

Wróćmy zatem do kwestii związanej ze stanem spoczynku naszej tarczy. Jeżeli punkt na prostej posiadał jeden stopień swobody i aby był nieruchomy to musiał spełnić jeden warunek, to jak myślisz – ile i jakich warunków musi spełnić tarcza o trzech stopniach swobody?

Tutaj powinienem dać Ci chwilę na przemyślenie tematu i odpowiedź.

Niestety wpis na blogu trochę blokuje naszą interakcje… no cóż… załóżmy, że czytając to lanie wody zdążyłeś/łaś się zastanowić. Tak – odpowiedź brzmi – taki układ, aby był nieruchomy musi spełnić trzy warunki – po jednym dla każdego stopnia swobody.

Warunki te również można sympatycznie opisać matematycznie:

∑F_{ix} =0,      ∑F_{iy}=0,     ∑M_{iz} =0

Tłumacząc – suma wszystkich sił (bądź rzutów sił) działających na kierunku osi x musi być równa 0 (blokada ruchu poziomego), tak jak sił na kierunku osi y (blokada ruchu pionowego) i momentów względem osi z (blokada obrotu w płaszczyźnie kartki). Od razu odpowiadając – tak, za ruch obrotowy ciała odpowiadają momenty, które na niego działają. Jako moment rozumiemy tutaj moment siły czyli działanie sił w pewnej odległości od jakiegoś punktu.

Opisane powyżej warunki będziemy nazywać warunkami równowagi statycznej, a ich rozwinięcie, do którego podstawimy rzeczywiste siły działające na układ – równaniami równowagi statycznej (albo prościej – równaniami równowagi). Jeżeli siły działające na układ spełniają warunki równowagi to układ ma szanse pozostawać w spoczynku (może również poruszać się ruchem jednostajnym – przecież pamiętasz. A co w przypadku kiedy warunki nie pozostają spełnione? Znowu zwracamy się do Pana Newtona o jego drugą zasadę dynamiki:

Jeżeli siły działające na ciało się nie równoważą to będzie ono przyspieszać proporcjonalnie do wartości niewyrównoważenia i odwrotnie proporcjonalnie do jego masy.

 Czyli w takim przypadku mamy do czynienia z zupełnie innym działem mechaniki – dynamiką (kiedy zastanawiamy się dlaczego coś się porusza).

W drugiej części artykułu omówimy geometryczną niezmienność czyli spróbujemy się zastanowić – jak wymusić na danym ciele spełnienie warunków równowagi…

INNE WPISY W TEJ KATEGORII